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[答287] 平方数の和の下2桁が00

ヤドカリ

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[答287] 平方数の和の下2桁が00


 自然数nについて、Sn=12+22+32+……+n2 とします。

 S24=4900 のように Sn の下2桁が 00 となるような自然数nのうち、

 小さい方から8番目のものは?


[解答1]

 Sn=n(n+1)(2n+1)/6 で、n,n+1,2n+1 の1つが3の倍数だから、

 n(n+1)(2n+1) が 200=8・25 の倍数であればよいことになります。

 n,n+1,2n+1 のうち、n,n+1 の片方が偶数で他方が奇数、2n+1 は奇数です。

 以下、k,m を自然数とします。

 n が 200 の倍数のとき、n=200k と書けます。

 n+1 が 200 の倍数のとき、n+1=200k と書け、n=200k-1 です。

 n が 25 の倍数で奇数のとき、n+1 が 8 の倍数です。

  n=25m とおくと、n+1=25m+1=24m+m+1 、m+1 は 8 の倍数で、

  m+1=8k とおくと、m=8k-1 、n=25(8k-1)=200k-25 と書けます。

 n+1 が 25 の倍数で奇数のとき、n が 8 の倍数です。

  n+1=25m とおくと、n=25m-1=24m+m-1 、m-1 は 8 の倍数で、

  m-1=8(k-1) とおくと、m=8k-7 、n=25(8k-7)-1=200k-176 と書けます。

 2n+1 が 25 の倍数のとき、奇数だから、2n+1=50m-25 と表せ、n=25m-13 です。

  n が 8 の倍数のとき、n=25m-13=24m-8+m-5、m-5 は 8 の倍数で、

  m-5=8(k-1) とおくと、m=8k-3 、n=25(8k-3)-13=200k-88 と書けます。

  n+1 が 8 の倍数のとき、n+1=25m-12=24m-8+m-4、m-4 は 8 の倍数で、

  m-4=8(k-1) とおくと、m=8k-4 、n=25(8k-4)-13=200k-113 と書けます。

 結局、n=200k-176, 200k-113, 200k-88, 200k-25, 200k-1, 200k となります。

 k=1 のとき、n=24,87,112,175,199,200 、

 k=2 のとき、n=224,287,312,375,399,400 、

 ……………………………

 小さい方から8番目のものは 287 です。


[解答2]

 Sn=n(n+1)(2n+1)/6=2n(2n+1)(2n+2)/24 で、2n,2n+1,2n+2 は連続3整数で、

 その積は3の倍数だから、2n(2n+1)(2n+2) が 800=32・25 の倍数であればよいことになります。

 2n,2n+1,2n+2 のうち、2n+1 は奇数で、

 2n,2n+2 の片方が4の倍数で、他方が4の倍数でない偶数ですので、4の倍数の方は 16の倍数です。

 2n,2n+1,2n+2 に5の倍数は2つ以上ありませんので、5の倍数のものは 25の倍数です。

 ここで、cを整数の定数として、25x=16y+c の整数解を求めてみます。

 25・9c=16・14c+c ですので、25x=16y+c から辺々減じて、25(x-9c)=16(y-14c) 、

 よって、整数kを用いて、 x-9c=16k ,y-14c=25k すなわち x=16k+9c ,y=25k+14c と表され、

 25x=400k+225c ,16y=400k+224c となります。

 これは、(25の倍数)=(16の倍数)+c とすれば、

 25の倍数は 400k+225c ,16の倍数は 400k+224c と表されることを意味します。

 これをもとに、すべての場合を機械的に書き出せば、

 (A) 2n が 16の倍数 のとき、2n=400k+224c より n=200k+112c

  (A1) 2n が 25の倍数 のとき、c=0 で、n=200k 、n≡0 (mod 200) になります。

  (A2) 2n+1 が 25の倍数 のとき、c=1 で、n=200k+112 、n≡112 (mod 200) になります。

  (A3) 2n+2 が 25の倍数 のとき、c=2 で、n=200k+224 、n≡24 (mod 200) になります。

 (B) 2n+2 が 16の倍数 のとき、2n+2=400k+224c より n=200k+112c-1

  (B1) 2n が 25の倍数 のとき、c=-2 で、n=200k-225 、n≡175 (mod 200) になります。

  (B2) 2n+1 が 25の倍数 のとき、c=-1 で、n=200k-113 、n≡87 (mod 200) になります。

  (B3) 2n+2 が 25の倍数 のとき、c=0 で、n=200k-1 、n≡199 (mod 200) になります。

 結局、n≡0,24,87,112,175,199 (mod 200) となって、

 n=24,87,112,175,199,200,224,287,312,375,399,400 ……

 小さい方から8番目のものは 287 です。

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Comments 15

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ニリンソウ  
No title

おはようございます!
夏の草原にネジバナ、よく撮れていますね。
探しに行かないと~~去年の所で咲いててくれると
いいのだけど。 ぽち

ニリンソウ  
No title

Wって意識しても入らないのにやどかりさんの所には
入りやすいようです。(^0^)

アキチャン  
No title

おはようございます。
昨日、私もネジバナを撮ったばかりです (o^-^o)
撮るのにピントが合わずに難儀しました f(^_^;
きれいですネ♪ ポチ♪

いっちゃん  
No title

おはようございます。。ねじばなは可愛いですね。
私も探しに行こうかなぁ~
ポチ

いっちゃん  
No title

ニリンソウさんと同じくここは居心地がいいのか
W入ります。。^^

uch*n*an  
No title

う~む,どちらも面倒だなぁ。
私の解法は,合同式を用いてコンパクトに記述しましたが,より単純な[解答1]の方でした。
[解答2]は,面白い方法ですが,この問題では,工夫の割には楽にならない気がします。
いずれにせよ,n の一般解を求める問題ならばいいのですが,
小さい方から8番目,と限定されてしまうと,プログラムの方がはるかに楽ですね。

Yasuko  
No title

おはようございます♪
お花は見たことがあったのですが~~
お花の名前が分からなかったです!
ネジバナなんですねぇ~ありがとう^^
☆ポチ

Yasuko  
No title

W!ポチ☆☆入りましたぁ~☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしは解法2よりもっと雑な方法で...またまた...
かなりの計算をしちゃいました...^^;...

そらに入道雲が!!...もうすっかり夏ですね...^^

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
この花が咲いていたのはよく通る所ですが、去年まで気づきませんでした。
ほんとうによく咲いていました。
Wはできるとそのブログとの相性がよくなって続くことがよくあります。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私もピント合わせに苦労しました。沢山撮ってピントの合っているのを選びました。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
旧大阪女子大学の近くで撮りました。ここで見たのは初めてです。
見つけた時は、ラッキーでした。
居心地がよかったら、何度でも来てくださいね。
ただし、冷房はセルフサービスです。笑

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
[解答2]はこの公式が連続3整数と見ることができることの紹介です。
ま、あまり楽にはなりませんが。
問題としては、この条件に合うnの値を、
小さい方から100個位、合計してもらってもよいのですが、
それでも「禁じ手」の方が楽ですね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
私はこの花に初めて出会った時、植物の本で調べました。
これも立派なラン科の花、当然ですが、名前はすぐ覚えました。
かわいい花ですね。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
地道に計算すれば分かるのですが、筋道をたてて考える練習のような問題でした。

景色も空もすっかり夏です。違いはセミの声がないことです。