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[答288] 垂線の2乗和の最小値

ヤドカリ

ヤドカリ



[答288] 垂線の2乗和の最小値


 3辺の長さが 3,4,5 の三角形と内部の点Pがあります。

 Pから3辺に垂線PA,PB,PCをおろしたとき、 PA2+PB2+PC2 の最小値は?


[解答1] 計算力まかせで

 3つの頂点を(0,0),(4,0),(0,3), P(p,q) とすれば、

 (4,0),(0,3)を通る直線は 3x+4y-12=0 だから、

 PA=p,PB=q で、ヘッセの公式により PC=|3p+4q-12|/5 になります。

 PA2+PB2+PC2=p2+q2+(3p+4q-12)2/25

  =(34p2+24pq+41q2-72p-96q+144)/25

  = ……

  =2(17p+6q-18)2/425+(25q-24)2/425+72/25

 従って、17p+6q-18=0 かつ 25q-24=0 のとき、すなわち、p=18/25,q=24/25 のとき

 最小値は 72/25 になります。

☆ wind156さんのコメントより (平方完成が面倒なら)

 f(x,y)=(34x2+24xy+41y2-72x-96y+144)/25 として、

 ∂f/∂x=(68x+24y-72)/25=0 ,∂f/∂y=(24x+82y-96)/25=0 を解いて、

 x=18/25,y=24/25 のとき最小、f(18/25,24/25)=72/25 です。


[解答2]

 3PA+4PB+5PC は、この三角形の面積の2倍だから、3PA+4PB+5PC=12 になります。

 コーシー・シュワルツの不等式により、

 (32+42+52)(PA2+PB2+PC2)≧(3PA+4PB+5PC)2

 50(PA2+PB2+PC2)≧122

 PA2+PB2+PC2≧72/25 、

 従って、最小値は 72/25 になります。

 最小値をとるのは、PA:PB:PC=3:4:5 だから、PA=3k,PB=4k,PC=5k とすれば、

 3PA+4PB+5PC=12 より、50k=12 、k=6/25 だから、PA=18/25,PB=24/25,PC=6/5 です。

★ この方法を使えば、直角三角形でなくても解くことができます。

 ふじもさんよると、この点Pは「ルモアーヌ点」というそうです。詳しくは、

 ふじもさんのHP( http://kikagaku.at-ninja.jp/triangle_geometry/Lemoine_point.html )をご覧下さい。


[解答3]

 直角の頂点を O とすれば、

 PA2+PB2+PC2=PO2+PC2={(PO+PC)2+(PO-PC)2}/2

 PO+PC を最小にするには、Oから斜辺におろした垂線の足をCとして、OC上にPをとればよく、

 |PO-PC| を最小にするには、PO=PC とすればよいので、

 Oから斜辺におろした垂線の足をCとして、OCの中点をPとすればよいことになります。

 このとき、もとの三角形の面積から、5・OC/2=4・3/2 、OC=12/5 です。

 PA2+PB2+PC2=(12/5)2/2=72/25 になります。


[参考1] ふじもさんのHPを参考にしての私の考察

 3頂点の位置ベクトルを abc とし、その対辺の長さを a,b,c とすれば、

 「ルモアーヌ点」の位置ベクトルは、(a2a+b2b+c2c)/(a2+b2+c2) です。

  本問の場合は、[解答1]のように頂点を決めれば、

  {25(0,0)+9(4,0)+16(0,3)}/(25+9+16)=(36,48)/50=(18/25,24/25) になります。

 長さ a の辺の中点をM,他の頂点から長さ a の辺におろした垂線の中点をN とすれば、

 「ルモアーヌ点」は、MN を 2a2:(b2+c2-a2) に分ける点になります。

 従って、「ルモアーヌ点」は、(ふじもさんのHPのように)辺の中点と垂線の中点を結ぶ直線3本の交点です。


[参考2] ふじもさんのコメント

 数ある三角形の中心の中で、ルモアーヌ点は特に多くの性質を持っています。

 ルモアーヌ点Kは、3辺へ下ろした垂線の長さの比が、その辺自身の長さの比になる点で、

 △ABCにおいて、BC=a, CA=b, AB=c,

 KからBC, CA, AB に下ろした垂線の足をP, Q, R とすると、KP:KQ:KR=a:b:c です。

 これより、AKとBCの交点をDとすると、BD:DC=c2:b2 が示せます。

 そのほか、内接円とBC, CA, ABの接点をS, T, Uとすると、AS, BT, CUの交点(ジェルゴンヌ点)は、

 △STUのルモアーヌ点になります。

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Comments 20

There are no comments yet.
さっちゃんこ  
No title

おはようございます。
昨日に引き続き今朝も地震が起きているようです。何時になったら静かな日本に戻ってくれるのでしょうか!
真っ赤なレイゴに力をもらって...ポチ

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
解答2に惚れ惚れ♪
コーシーシュワルツは...万能の不等式ですねぇ♪
こういう名前のつくような式を見つけられたらいいのになぁ ^^

いっちゃん  
No title

おはようございます。。
デイゴの花は沖縄をイメージできますね。。
琉球大学の合格電報は「デイゴ咲く」って聞いたことが
あります^^
ほんとかな?さくらの花がないのでしょうか。。
ポチ

ニリンソウ  
No title

昨日と同じ花?
長居植物園なのでしょうか~夏の陽射しが眩しいです

ポチ

Yasuko  
No title

おはよう♪
レイゴナの?
今日は朝から☂が降り少し暑さはましかなぁ~。。
☆ポチ

Yasuko  
No title

W!ポチ☆☆どすぅ~☆彡

uch*n*an  
No title

これは,面白い問題でした。
私は,結局,五つの方法で解きましたが,
(解法1)が[解答1],(解法2)(解法4)(解法5)が[解答3],(解法3)が[解答2],でした。
(解法2)(解法4)(解法5)の違いは最小値への不等号評価のアプローチの仕方の違いです。
一番近いのは(解法4)かな。
なお,「ルモアーヌ点」という名前は全くの初耳でした。後でじっくり勉強します。
平面幾何の歴史は長いから,まだまだ知らないものが一杯ありそうですね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この花は、ヒシバデイゴです。
葉は見えにくいですが、葉の形が菱形に近いです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
確かに赤は発奮を促す色ですね。
ただ、鍵コメントでないので、内緒になっていません~(笑)

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
そちらでは新燃岳の噴火も気になりますね。
私も、静かな日本になってほしいです。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、早速のコメントを有難う御座います。
crazy_tomboさんの名前のつくような薬を見つけられたらいいのになぁ ^^
ところで、後の鍵コメも有難う御座います。朝、慌てると、書庫を間違えたり、
問題の方にリンクを貼らずに終わってしまうことがあります。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
このデイゴはヒシバデイゴで、奄美大島に多いそうです。
また、今、話題の小笠原にもあるそうです。
いずれにしても南国の島々ですね。自生している島に行きたいなぁ~~。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
昨日のは大仙公園で撮った、アメリカデイゴで、
今日のは長居公園で撮った、ヒシバデイゴです。
植物園でなく、公園に入ったところに咲いていました。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
Wが本当によく出来ますね。いつも驚きです。
今日は雨のおかげでいつもより涼しくていいですね。
デイゴについては、↑のコメントに書いた通りです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
「ルモアーヌ点」は私も初耳でした。
ふじもさんのHPにいろんな点の説明がありますが、読み切れません。

黒翼  
No title

コーシー・シュワルツの不等式をうまく利用した解法ですね.おそらくこれが一番簡単ですかね.

使いこなせるようになりたいです.ポチ☆

黒翼  
No title

Wポチ☆☆でした.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
2乗の和 ⇒ コーシー・シュワルツの不等式
そんな雰囲気があります。

ふじも  
No title

数ある三角形の中心の中で、ルモアーヌ点は特に多くの性質を持っています。
ルモアーヌ点Kは、3辺へ下ろした垂線の長さの比が、その辺自身の長さの比になる点で、

△ABCにおいて、BC=a, CA=b, AB=c,
KからBC, CA, AB に下ろした垂線の足をP, Q, R とすると、KP:KQ:KR=a:b:c です。
これより、AKとBCの交点をDとすると、BD:DC=c^2:b^2 が示せます。

そのほか、内接円とBC, CA, ABの接点をS, T, Uとすると、AS, BT, CUの交点(ジェルゴンヌ点)は、
△STUのルモアーヌ点になります。

この辺の情報はWEBで探しても少ないので、今回名前だけでも覚えてもらえるとうれしいです。

ヤドカリ  
No title

ふじもさん、コメントを有難う御座います。
コメントを記事にそっくり使わせて頂きました。