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[答290] 格子点でできる十六角形

ヤドカリ

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[答290] 格子点でできる十六角形


 xy平面上に中心が原点の円があって、円周上の格子点がちょうど16個あります。

 格子点を順につないでできる十六角形の辺の長さの1つが 2√29 であるとき、

 この円の半径として考えられる最も短いものの長さは? また短い方から5番目の長さは?


[解答]

 格子点であるかないかは、原点を中心とする90゚の回転によって変わらないから、

 十六角形の頂点は x>0,y≧0 の領域に4個あることになります。

 a,b,c,d を a>b>c>d を満たす自然数として、

 その4個が (a,0),(b,d),(c,c),(d,b) または (a,d),(b,c),(c,b),(d,a) と表されます。

 前者の場合、a2=2c2 ですが、そんな自然数 a,c は存在しません。

 後者の場合、辺の長さは、2d,√{(a-b)2+(c-d)2},(b-c)√2 の3種類で、

 √{(a-b)2+(c-d)2}=2√29 になります。

 従って、(a-b)2+(c-d)2=116 です。

 次に、a2+d2=b2+c2 だから、

 (a-b)(a+b)=(c-d)(c+d) 、a+b>c+d を考慮して、a-b<c-d ですので、

 (a-b)2+(c-d)2=116 は、a-b=4,c-d=10 のときにのみ成り立ちます。

 よって、b=a-4,c=d+10 です。

 (a-b)(a+b)=(c-d)(c+d) に代入して、4(2a-4)=10(2d+10) 、2(a-2)=5(d+5) となって、

 整数kを用いて、a-2=5k,d+5=2k と表され、

 a=5k+2,d=2k-5,b=5k-2,c=2k+5 となります。

 ここで、b>c より、5k-2>2k+5 、3k>7 、k≧3 です。

 半径をrとすれば、r2=(5k+2)2+(2k-5)2=29(k2+1) です。

 それを、平方数の和で表すと、

  k=3 のとき、r2=290=172+12=132+112

  k=4 のとき、r2=493=222+32=182+132

  k=5 のとき、r2=754=272+52=232+152

  k=6 のとき、r2=1073=322+72=282+172

  k=7 のとき、r2=1450=372+92=332+192=352+152

  k=8 のとき、r2=1885=422+112=382+212=432+62=342+272

  k=9 のとき、r2=2378=472+132=432+232

 k=7 のときは二十四角形,k=8 のときは三十二角形になります。

 最も短い半径は k=3 のとき √290 、5番目に短い半径は k=9 のとき √2378 です。

☆ 29(p2+q2)=(5p+2q)2+(2p-5q)2=(2p+5q)2+(5p-2q)2 です。

 k=7 のとき 72+1=52+52、k=8 のとき 82+1=72+42 だから、

 29(k2+1)=(5k+2)2+(2k-5)2=(5k-2)2+(2k+5)2 以外の表し方が存在します。 

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Comments 20

There are no comments yet.
ニリンソウ  
No title

おはようございます!
爽やかな青空ですね~その青い花は?
ポチ!

アキチャン  
No title

おはようございます。
よく分かりませんが、私の好きなヤマホロシですか?
(o^-^o) ポチ♪

さっちゃんこ  
No title

おはようございます。
ジャカランタでしょうか?薄紫の花が心を癒してくれます ポチ

いっちゃん  
No title

おはようございます^^
この梅雨空にさわやかなお花をありがとうございます。。
すごく高いとこに咲いていますね。こういうアングルから見る花が好きです。。ポチ

uch*n*an  
No title

これは面倒な問題でした。
抜けが無いかばかりに気を取られ,最後のチェックを忘れて一回ミスしました。
解法自体は,y = ±x での対称性も考慮して,x 軸と y = x の間に二点,
として調べましたが,細かい計算の仕方以外は,[解答]とほぼ同じです。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これ難しぃ...^^;...
x,y軸上にあると(x=y=m)...対称性から...各象限に3個ずつとなり...ってことは...45°の点になるけど...m/√2は無理...
逆に...mが√2*m' なら、各象限にそれでももう3個いるけれど...対称性からありえないので...各象限に4個ずつと考えました...
あとがいまいち、ぐちゃぐちゃでしたが...Orz...

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
爽やかな青空にジャカランタの花が映えていましたので、思わずカメラを向けました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ジャカランタの花です。その木にしっかりと「ジャカランタ」の札がついていました。
花は高い所に咲きますので、形はよく分かりませんでした。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ジャカランタは南国宮崎なら珍しくないですよね。
もう少し低い所に咲いてくれれば有難いです。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
青空に映える花は撮りにくいけどいいですね。
でも、うまく撮れているかどうか、コンピュータに入れて、拡大しないと分かりません。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
ほとんどの方の解答は最初、5番目を √1450 と書かれていました。
面倒な問題でした。多分、禁じ手を使う方が楽でしょう。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
面倒をいとわずひとつひとつ片付けないといけない問題でした。

黒翼  
No title

この問題はお手上げですね.

全く手が出ません.面倒というのもありますが,まず格子点の分布の様子すら気づくことができませんでした.

なお,問題への早速の解答ありがとうございました.
お礼にもなりませんが,ポチ☆

黒翼  
No title

Wポチ☆☆でした.

Yasuko  
No title

ジャカランタのお花なんですか・・・
知りませんでしたぁ~✿
背が高い木なんですねぇ~もう少し低いところに咲いていると見やすいのにね!
☆ポチ

Yasuko  
No title

W!ポチ☆☆ですぅ~☆彡

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
この問題は、私は作成して、面倒だとは思いましたが、難しいとは思いませんでした。
簡単な例で考えるとよいと思います。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、コメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
ジャカランタの花を長居公園に入った所で見ました。
ここは、広々とした公園の中に植物園があって、時々行きます。

いっちゃん  
No title

花の名前覚えにくいです。。

「蛇が絡んだ」と覚えました。。あはは

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
この花は高い所に咲きますので、気をつけないと見落とします。
普段はマメ科独特の葉が印象的です。