[答294] 条件を満たす関数
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[答294] 条件を満たす関数
a,b,c を係数とする関数 y=ax2+bx+c が、y=xy'-(y')2 を満たし、
x=2 のとき y=1 ならば、x=3 のとき y=?
[解答]
y=ax2+bx+c,y'=2ax+b だから、y=xy'-(y')2 に代入して、
ax2+bx+c=x(2ax+b)-(2ax+b)2、
ax2+bx+c=2ax2+bx-4a2x2-4abx-b2、
よって、a=2a-4a2, b=b-4ab, c=-b2、
a=0,1/4、 a=0 のとき、bは任意,c=-b2、a=1/4 のとき b=c=0、
すなわち、y=bx-b2, y=(1/4)x2 になります。
y=bx-b2 が、x=2 のとき y=1 になるのは b=1 のときで、y=x-1 、
y=(1/4)x2 は、x=2 のとき y=1 になります。
従って、x=3 のとき y=2,9/4 です。
[参考1] uch*n*anさんのコメントより
y=ax2+bx+c の形を与えなくても、「y は x の整式」と与えればよかったですね。
y が x の n 次式であれば、xy' は n 次、(y')2 は (2n-2)次だから、
n≧3 のときには 両辺の次数が合いませんので、2次以下の関数と分かります。
[参考2]
y" の存在を仮定し、y=xy'-(y')2 の両辺を微分すると、
y'=y'+xy"-2y'y"、y"(x-2y')=0、従って、y"=0 または y'=(1/2)x です。
y"=0 のとき y'=b(定数) と表せ、y=xy'-(y')2 より y=bx-b2 、
y'=(1/2)x のとき y=xy'-(y')2=(1/4)x2 になります。
ところで、(1/4)x2=bx-b2 を解くと、x=2b という重解をもちますので、
y=(1/4)x2 と y=bx-b2 は、(2b,b2)で接します。
本問で、y=ax2+bx+c とした理由は、
x<2b のとき y=(1/4)x2 ,2b≦x のとき y=bx-b2 のように、
放物線とその接線を繋いだグラフをもつような関数も、y=xy'-(y')2 を満たすので、
それを避けたものです。
この繋ぎ目の 2b が、2<2b<3 のときは、x=3 のときの y の値は 2 または 9/4 とはいえません。
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