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[答294] 条件を満たす関数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答294] 条件を満たす関数


 a,b,c を係数とする関数 y=ax2+bx+c が、y=xy'-(y')2 を満たし、

 x=2 のとき y=1 ならば、x=3 のとき y=?



[解答]

 y=ax2+bx+c,y'=2ax+b だから、y=xy'-(y')2 に代入して、

 ax2+bx+c=x(2ax+b)-(2ax+b)2

 ax2+bx+c=2ax2+bx-4a2x2-4abx-b2

 よって、a=2a-4a2, b=b-4ab, c=-b2

 a=0,1/4、 a=0 のとき、bは任意,c=-b2、a=1/4 のとき b=c=0、

 すなわち、y=bx-b2, y=(1/4)x2 になります。

 y=bx-b2 が、x=2 のとき y=1 になるのは b=1 のときで、y=x-1 、

 y=(1/4)x2 は、x=2 のとき y=1 になります。

 従って、x=3 のとき y=2,9/4 です。


[参考1] uch*n*anさんのコメントより

 y=ax2+bx+c の形を与えなくても、「y は x の整式」と与えればよかったですね。

 y が x の n 次式であれば、xy' は n 次、(y')2 は (2n-2)次だから、

 n≧3 のときには 両辺の次数が合いませんので、2次以下の関数と分かります。


[参考2]

 y" の存在を仮定し、y=xy'-(y')2 の両辺を微分すると、

 y'=y'+xy"-2y'y"、y"(x-2y')=0、従って、y"=0 または y'=(1/2)x です。

 y"=0 のとき y'=b(定数) と表せ、y=xy'-(y')2 より y=bx-b2

 y'=(1/2)x のとき y=xy'-(y')2=(1/4)x2 になります。

 ところで、(1/4)x2=bx-b2 を解くと、x=2b という重解をもちますので、

 y=(1/4)x2 と y=bx-b2 は、(2b,b2)で接します。


 本問で、y=ax2+bx+c とした理由は、

 x<2b のとき y=(1/4)x2 ,2b≦x のとき y=bx-b2 のように、

 放物線とその接線を繋いだグラフをもつような関数も、y=xy'-(y')2 を満たすので、

 それを避けたものです。

 この繋ぎ目の 2b が、2<2b<3 のときは、x=3 のときの y の値は 2 または 9/4 とはいえません。

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Comments 20

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Yasuko  
No title

W!☆☆です!

今日もアチイですね\(-o-)/

uch*n*an  
No title

これは,私の解法も[解答]と同じでした。
出題時にもコメントしましたが,一般に多項式関数にしてもよく,
それぐらいすれば,センター試験や文系の入試にもいいかもしれません。
[参考]のような繋いだ関数は,通常の高校レベルではあまり考えませんが,
実際には,例えば,物理でよくやるように境界の入った領域での議論では重要になりますね。
なお,この問題で繋いだ関数を排除しより一般的にするには,
すべての x で y は何回でも微分可能,ぐらいの条件でもいいかも知れません。

黒翼  
No title

つなぐ関数の存在には気がつきませんでした.
微分方程式を解いていないので当たり前ではありますが.

僕も式変形の違いはあるものの,解答と同じ解き方でした.
一般形が与えられていると,微分方程式を解く必要がないので簡単でした.ポチ☆

黒翼  
No title

Wポチ☆☆でした.

tsuyoshik1942  
No title

今までも解けず、問題番号のヒントから答を推量した問題がありましたが、この問題は勝手に迷路に迷い込み、その手法さえ役に立ちませんでした。どんな迷路?そんな道ないよ!といわれそうですが勝手に道を作ってしまいました。最後の最後に2,9/4が浮かんだ時はうれしかったです。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
<参考> の後半部がよくわかりません...^^;...
できれば図示していただければ嬉しいのですが...Orz~...
「2<2b<3 のとき、・・・」の部分がなぜなのかがわからないもので...^^;;
それにしても倒れそうな外の暑さ...日本の夏は半端じゃないですねぇ...!! みなさま脱水、熱中症には気をつけてくださいませ~~~...

黒翼  
No title

便乗する形で申し訳ないのですが,僕も「2<2b<3のとき」の部分がしっくりときません.

お願いします.

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
小雨ですか。こちらは朝から日差しが強い日でした。
小雨だけですめば、涼しいのでかえっていいかも知れません。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ノウゼンカズラ、こちらでは今が盛りであちこちで見られます。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
「今日のお花、一緒でしたね (o^-^o)」だけでなく、投稿の時刻も一緒です。
私もTBをさせて頂きました。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
背後の白壁がお分かりでしょうか?
先日の貴女の写真と同じ場所で撮ったものです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。

> 一般に多項式関数にしてもよく,……,センター試験や文系の入試にもいいかもしれません。
仰るように、そのほうが良かったと思います。
ただ、「多項式」には単項式を除外する流儀もあるようですので「整式」が良いかも知れません。
なお、「多項式関数」に単項式を除外する流儀があるかどうかはよく分かりません。

> この問題で繋いだ関数を排除し……,すべての x で y は何回でも微分可能,
仰る通りですが、このようにすると正解者が少なくなりそうです。
微分方程式を解くのに、積分でなく微分を使うのは知っていないと中々思いつかないでしょう。
「何回でも微分可能」が y" を使って解くというヒントになればいいのですが。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
仰る通り、一般形を与えましたので難しくないと思います。
[参考]部分の紹介のための問題です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
解けた時の喜びを味わって頂ければ、出題者として嬉しいです。
これからもよろしく。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難うございます。
つなぎ目が x=2b ですが、
2b<2 なら、「x=2 のとき y=1」を満たしませんし、
3<2b なら、「x=3 のとき」の y の値に影響を与えません。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、再度のコメントを有難う御座います。
上記の通りです。

黒翼  
No title

解説ありがとうございました.

注意して読みなおせば,当たり前のことですね.

いっちゃん  
No title

こんんばんは。
ノウゼンカズラの華やかな色合いがすてきですね。
昔、近所にこの花がいっぱい咲いてた家があったのですが、ハイビスカスと間違えて「ハワイみたいな家だな」
と思ったのを思い出します。。発想が幼いですねぇ
ポチ

いっちゃん  
No title

Wです。。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
ノウゼンカズラでハワイに気分を味わえるなんて素敵ですね。