[答294] 条件を満たす関数

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[答294] 条件を満たす関数


　a，b，c を係数とする関数 y＝ax²＋bx＋c が、y＝xy'－(y')² を満たし、

　x＝2 のとき y＝1 ならば、x＝3 のとき y＝？



[解答]

　y＝ax²＋bx＋c，y'＝2ax＋b だから、y＝xy'－(y')² に代入して、

　ax²＋bx＋c＝x(2ax＋b)－(2ax＋b)²、

　ax²＋bx＋c＝2ax²＋bx－4a²x²－4abx－b²、

　よって、a＝2a－4a²， b＝b－4ab， c＝－b²、

　a＝0，1/4、 a＝0 のとき、bは任意，c＝－b²、a＝1/4 のとき b＝c＝0、

　すなわち、y＝bx－b²， y＝(1/4)x² になります。

　y＝bx－b² が、x＝2 のとき y＝1 になるのは b＝1 のときで、y＝x－1 、

　y＝(1/4)x² は、x＝2 のとき y＝1 になります。

　従って、x＝3 のとき y＝2，9/4 です。


[参考1] uch*n*anさんのコメントより

　y＝ax²＋bx＋c の形を与えなくても、「y は x の整式」と与えればよかったですね。

　y が x の n 次式であれば、xy' は n 次、(y')² は (2n－2)次だから、

　n≧3 のときには 両辺の次数が合いませんので、２次以下の関数と分かります。


[参考2]

　y" の存在を仮定し、y＝xy'－(y')² の両辺を微分すると、

　y'＝y'＋xy"－2y'y"、y"(x－2y')＝0、従って、y"＝0 または y'＝(1/2)x です。

　y"＝0 のとき y'＝b(定数) と表せ、y＝xy'－(y')² より y＝bx－b² 、

　y'＝(1/2)x のとき y＝xy'－(y')²＝(1/4)x² になります。

　ところで、(1/4)x²＝bx－b² を解くと、x＝2b という重解をもちますので、

　y＝(1/4)x² と y＝bx－b² は、(2b，b²)で接します。


　本問で、y＝ax²＋bx＋c とした理由は、

　x＜2b のとき y＝(1/4)x² ，2b≦x のとき y＝bx－b² のように、

　放物線とその接線を繋いだグラフをもつような関数も、y＝xy'－(y')² を満たすので、

　それを避けたものです。

　この繋ぎ目の 2b が、2＜2b＜3 のときは、x＝3 のときの y の値は 2 または 9/4 とはいえません。

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