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[答295] 立方数の方程式

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答295] 立方数の方程式


 x3-y3=24264 を満たす自然数 x,y の値は?


[解答]

 x3-y3=24264 より、(x-1)x(x+1)-(y-1)y(y+1)+(x-y)=24264 、

 ここで、(x-1)x(x+1),(y-1)y(y+1),24264 は6の倍数だから、x-y も6の倍数、

 x-y=6a (aは自然数)とおきます。

 x3-y3=24264 より、 (x-y)(x2+xy+y2)=24264 、 (x-y){(x-y)2+3xy}=24264 、

 6a{(6a)2+3(y+6a)y}=24264 、 a{12a2+(y+6a)y}=1348 、 a{(y+3a)2+3a2}=1348 、

 よって、aは 1348=22・337 の約数で、(y+3a)2=1348/a-3a2 です。

 f(a)=1348/a-3a2 とおけば、

 f(1)=1345 は平方数でない、f(2)=662 は平方数でない、f(4)=289=172、a≧337 のとき f(a)<0 だから、

 a=4 ,y+3a=17 となって、y=5 、x=y+6a=29 です。

 よって、x=29,y=5 が答です。

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Comments 20

There are no comments yet.
Yasuko  
No title

W!ポチ☆☆です!

おやすみなさいzzz

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
なでしこの勝利は朝のニュースで聞きました。
世界の中では、日本のスポーツは女性の活躍が目立ちますね。
応援、ご苦労様です。
睡眠不足で健康を損なわないように!

アキチャン  
No title

おはようございます。
濡れた花びらが涼しげです (o^-^o)
ポチ♪
みなさん、声援で寝不足のようですね!

さっちゃんこ  
No title

おはようございます。 なでしこJP"ヾ(●⌒∇⌒●)ノ やりましたね。
皆さん応援が忙しくてブログ遅れ気味のようですね。
今朝は雨に濡れたむくげの花より一層綺麗で清楚な感じに見えますょ
♪~♪ d(⌒o⌒)b♪~♪ランラン ポチ

いっちゃん  
No title

おはようございます^^
ほんとにいい試合でした。。こんなすごい結果をもたらせてくれるなんて、勇気と希望を頂きました。
「ありがとう」の文字が震災での援助を世界中に感謝して
ることを伝えていました。これにも感動しました。
政府はきちんと伝えたのかな?と思ってる時期でしたから。。
藤紫のムクゲは初めてです^^
すてきですね。すべてのことに感謝したい気持ちになりますね。。ポチ

いっちゃん  
No title

Wです^^

uch*n*an  
No title

解法の詳細はいろいろあると思いますが,約数の関係で絞っていくのは私も同じでした。
ご参考までに,私の解法を書き込んでおきますね。

それにしても,なでしこジャパンはすごい!

uch*n*an  
No title

x^3 - y^3 = 24264,P = (x - y)((x - y)^2 + 3xy) = 2^3 * 3^2 * 337
337 は素数,(x - y)^2 + 3xy > x - y >= 1 より,x - y は 2^3 * 3^2 の約数で,
3xy は 3 の倍数,P は 27 の倍数でない 9 の倍数より,
x - y は 9 の倍数ではない 3 の倍数で,x - y = 3, 6, 12, 24 です。
さらに,x,y の偶奇性は,x - y が奇数で異なり,x - y が偶数で同じ,と,
P は 16 の倍数でない 8 の倍数より,x - y = 6, 24 です。
x - y = 6 の場合,6(6^2 + 3xy) = 2^3 * 3^2 * 337,xy = 8 * 167,167 は素数,解なし,
x - y = 24 の場合,24(24^2 + 3xy) = 2^3 * 3^2 * 337,xy = 5 * 29,x = 29,y = 5,
結局,x = 29,y = 5 になります。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
朝からの雨で気温が上がらず、なでしこの活躍もあって、今日は爽やかです。
写真はなでしこの方が良かったのかも知れません。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ブログの新着を見ても何人かの方が早速記事にされていました。
この素早さを、私には真似できません。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
ま、政府のことは気にしないで、素直に喜びましょう。
この花は、ムクゲ・ブルーバードと云うようです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントと解答を有難う御座います。
方法はいろいろですが x-y が6の倍数であることに気づけば早いですね。

リードされては追いつくというのは凄いです。

黒翼  
No title

やっぱりこういった問題はまだまだ苦手のようです.

よい式変形をできないので,答にたどり着けません.
問題番号から29,5を推測するのは容易でしたが,やっぱり正攻法で解きたいという未熟者なりのプライドが投稿を阻みました.

この式変形も参考になりました.ポチ☆

黒翼  
No title

ポチの数を見忘れてました.
コメントから察するにシングルかと思います.

Wにできず申し訳ないです.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントとポチを有難う御座います。
式変形は目的によって違いますので、工夫が大切です。
なお、Wでないのが普通です。

ニリンソウ  
No title

Wが入るようにナデシコ見習って素早く ポチ!!
台風の影響もう出てますか、雨粒のようですね
ムクゲの薄紫が涼しげです。

ニリンソウ  
No title

W成功!

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
台風の影響で朝から雨です。
花はムクゲ・ブルーバードです。

古い人  
No title

ムクゲ韓国の国花だけあり。

深い味わいが有りますねポチ。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、コメントとポチを有難う御座います。
仰る通り、ムクゲも良く見ると味わいがありますね。