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[答296] 混循環小数

ヤドカリ

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[答296] 混循環小数


 nは 10の倍数でない自然数で、1/n を小数に直すと、0.のあと何桁かの循環しない部分があり、

 そのあとに3桁の循環節 378 が続きます。( 1/n=0.???…??378378378378…… )

 この条件を満たす最小のnの値は? また、2番目に小さいnの値は?

 素因数分解して答えて下さい。


[解答]

 循環しない部分(???…??)がk桁で、それをaとすれば、aの1の位は8以外の数です。

 ( aの1の位を8とすれば、循環節は 837 か 783 になるからです )

 1/n=a/10k+378/(999・10k)=a/10k+14/(37・10k)

 よって、37・10k=(37a+14)n になります。

 ここで、aの1の位は8以外の数だから、37a+14 は 10の倍数ではありません。

 nは 10の倍数でなく、37a+14 は 37の倍数でないことも考慮すれば、

 37a+14=5k,n=2k・37 または 37a+14=2k,n=5k・37 になります。

 37a+14=5k のとき、mod 37 として、5k≡14 、53=125≡14 なので、

  53(5k-3-1)≡0 、14(5k-3-1)≡0 、8・14(5k-3-1)≡8・0 、5k-3≡1 になります。

  下の[参考]により、k-3 は 36の倍数となり、k=36m+3 (m=0,1,2…)と表せます。

  このとき、n=2k・37=236m+3・37 になります。

 37a+14=2k のとき、mod 37 として、2k≡14 、236・53≡1・14 より、233・103≡14 、233≡14 なので、

  233(2k-33-1)≡0 、14(2k-33-1)≡0 、8・14(2k-33-1)≡8・0 、2k-33≡1 になります。

  下の[参考1]により、k-33 は 36の倍数となり、k=36m+33 (m=0,1,2,…)と表せます。

  このとき、n=5k・37=536m+33・37 になります。

 従って、n=236m+3・37, 536m+33・37 (m=0,1,2,…)と表せます。

 小さい方から、n=23・37, 239・37, 275・37, 533・37,…… です。


[参考1]

 37より小さい自然数pについて、mod 37 として、pN≡1 を満たす自然数Nを求めます。

 pN≡1 を満たす最小の自然数Nをcとし、N÷c の商をq,余りをrとすれば、

 1≡pN=pcq+r=(pc)q・pr≡1q・pr≡pr となって、r<c だから、r=0 、従って、Nは cの倍数になります。

 また、フェルマの小定理により、p36≡1 ですので、36はcの倍数、cは 36の約数になります。

 p=2 のとき、21=2,22=4,23=8,24=16,26=64≡27,29≡8・27≡31,212≡272≡26,218≡312≡36

 だから、2c≡1 を満たす最小の自然数cは、c=36 です。

 p=5 のとき、51=5,52=25,53=125≡14,54=252≡33,56≡142≡11,59≡14・11≡6,512≡112≡10,

 518≡62≡36 だから、5c≡1 を満たす最小の自然数cは、c=36 です。

 よって、2N≡1 ,5N≡1 を満たす自然数Nはともに 36の倍数です。


[参考2] uch*n*anさんのコメントより

 378 の循環節の場合, n=236m+3・37, 536m+33・37 (m=0,1,2,…)

 837 の循環節の場合, n=236m+27・37, 536m+9・37 (m=0,1,2,…)

 783 の循環節の場合, n=236m+15・37, 536m+21・37 (m=0,1,2,…)

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Comments 20

There are no comments yet.
古い人  
No title

ダブルはいりました。

tsuyoshik1942  
No title

絞込み不足!
n=37*2^pないし37*5^qの形になることまでは突きとめましたが、あとはp,qに1,2,3...を代入し実際に電卓で計算しました。二個の答の一つに296も得、自信を持って解答送信しましたが、二つ目の答の循環節は837でした。都合3回、解答送信させていただきました。
解説二度三度読ませていただきます・

Yasuko  
No title

おはようございます♪
純白のムクゲ純粋でイイですねぇ~✿

どんな色に染め上げようかなぁ(^O^)✿
☆ポチ

Yasuko  
No title

W!ポチ☆☆です(^^)!

uch*n*an  
No title

この問題は,最初,循環節 378,837,783 を区別せずに間違いました。
しかし,その間違いのおかげで問題の本質が明確になり,その後は割とスンナリでした。
間違うことも大切だな,と改めて思いました。
私の最終的な解法は,計算を一部地道にやりましたが,[解答]とほぼ同じです。

いっちゃん  
No title

こんにちは。
台風6号は大暴れしてあちこちで暴風と大雨となりました。被災地を直撃しなかったことがせめてものお慈悲でしょうか。。
白いムクゲは慈愛の花に見えます。

wポチです^^

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
この問題は...白旗でした...^^;...
解答を読んでもまだ消化不良...^^;;...
こういうの独力で解けるようになりたいものです~!!
ちなみに...どんなところからこういう問題思いつかれたのでしょうかしら...?...Orz...

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
真っ白なムクゲを見つけて思わず撮りました。
私の好きな色です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
台風の影響と云えば、風が少し強くて涼しく感じた程度でした。
雨もほとんど降りませんでした。
暴風域に入って暴風警報が出ていたとは思えない天気でした。
ムクゲは何ヵ所かに咲いていて、その場所を、雨上がりに散歩して一気に見て回りました。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
どんな色にでも染まりそうですが、私も染まらないでいて欲しいです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
私も作問してみて結構奥の深い問題だと思いました。
解答説明が十分かどうかは分かりませんが、参考にして下さい。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
私は染まらないで純白でいて欲しいです。
ところで、貴女はどんな色に染まったのでしょうか?

ヤドカリ  
No title

uch*n*an酸、コメントを有難う御座います。
循環節 378,837,783 の区別は本質的ではないと思ったのですが、
題意をはっきりさせるために「何桁かの循環しない部分」と書きました。
全部考えた解答を頂き、勉強になりました。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
ムクゲですが、貴女のお好きな白のですよ。
こちらは、台風の被害は全くありませんでした。涼しくて、普段より過ごしやすい1日でした。
被災地にムチ打つような災害がなくてよかったです。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
296番の問題ですので、
素因数分解すると、2以外は 37、だから、1/296 は循環節3桁、
同じ循環節をもつものは?
と考えました。

こっこちゃん  
No title

こんばんは

真っ白な ムクゲ 素敵ですね
清潔感が あって 真っ白好きなはなです、 ポチ

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
今、伺ったところでした。
ムクゲは終わりつつありますが、朝顔はこれから長く楽しめますね。

黒翼  
No title

コメント遅れてしまいました.
この問題は全く手がつけられませんでした.

合わせてmodの扱いもおさらい出来ました.ポチ☆

黒翼  
No title

Wポチ☆☆でした.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
mod のおさらいが出来たということで、嬉しいです。