[答296] 混循環小数
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[答296] 混循環小数
nは 10の倍数でない自然数で、1/n を小数に直すと、0.のあと何桁かの循環しない部分があり、
そのあとに3桁の循環節 378 が続きます。( 1/n=0.???…??378378378378…… )
この条件を満たす最小のnの値は? また、2番目に小さいnの値は?
素因数分解して答えて下さい。
[解答]
循環しない部分(???…??)がk桁で、それをaとすれば、aの1の位は8以外の数です。
( aの1の位を8とすれば、循環節は 837 か 783 になるからです )
1/n=a/10k+378/(999・10k)=a/10k+14/(37・10k)
よって、37・10k=(37a+14)n になります。
ここで、aの1の位は8以外の数だから、37a+14 は 10の倍数ではありません。
nは 10の倍数でなく、37a+14 は 37の倍数でないことも考慮すれば、
37a+14=5k,n=2k・37 または 37a+14=2k,n=5k・37 になります。
37a+14=5k のとき、mod 37 として、5k≡14 、53=125≡14 なので、
53(5k-3-1)≡0 、14(5k-3-1)≡0 、8・14(5k-3-1)≡8・0 、5k-3≡1 になります。
下の[参考]により、k-3 は 36の倍数となり、k=36m+3 (m=0,1,2…)と表せます。
このとき、n=2k・37=236m+3・37 になります。
37a+14=2k のとき、mod 37 として、2k≡14 、236・53≡1・14 より、233・103≡14 、233≡14 なので、
233(2k-33-1)≡0 、14(2k-33-1)≡0 、8・14(2k-33-1)≡8・0 、2k-33≡1 になります。
下の[参考1]により、k-33 は 36の倍数となり、k=36m+33 (m=0,1,2,…)と表せます。
このとき、n=5k・37=536m+33・37 になります。
従って、n=236m+3・37, 536m+33・37 (m=0,1,2,…)と表せます。
小さい方から、n=23・37, 239・37, 275・37, 533・37,…… です。
[参考1]
37より小さい自然数pについて、mod 37 として、pN≡1 を満たす自然数Nを求めます。
pN≡1 を満たす最小の自然数Nをcとし、N÷c の商をq,余りをrとすれば、
1≡pN=pcq+r=(pc)q・pr≡1q・pr≡pr となって、r<c だから、r=0 、従って、Nは cの倍数になります。
また、フェルマの小定理により、p36≡1 ですので、36はcの倍数、cは 36の約数になります。
p=2 のとき、21=2,22=4,23=8,24=16,26=64≡27,29≡8・27≡31,212≡272≡26,218≡312≡36
だから、2c≡1 を満たす最小の自然数cは、c=36 です。
p=5 のとき、51=5,52=25,53=125≡14,54=252≡33,56≡142≡11,59≡14・11≡6,512≡112≡10,
518≡62≡36 だから、5c≡1 を満たす最小の自然数cは、c=36 です。
よって、2N≡1 ,5N≡1 を満たす自然数Nはともに 36の倍数です。
[参考2] uch*n*anさんのコメントより
378 の循環節の場合, n=236m+3・37, 536m+33・37 (m=0,1,2,…)
837 の循環節の場合, n=236m+27・37, 536m+9・37 (m=0,1,2,…)
783 の循環節の場合, n=236m+15・37, 536m+21・37 (m=0,1,2,…)
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