[答296] 混循環小数

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[答296] 混循環小数


　ｎは 10の倍数でない自然数で、1/n を小数に直すと、0．のあと何桁かの循環しない部分があり、

　そのあとに３桁の循環節 378 が続きます。( 1/n＝0．???…??378378378378…… )

　この条件を満たす最小のｎの値は？　また、２番目に小さいｎの値は？

　素因数分解して答えて下さい。


[解答]

　循環しない部分(???…??)がｋ桁で、それをａとすれば、ａの１の位は８以外の数です。

　( ａの１の位を８とすれば、循環節は 837 か 783 になるからです )

　1/n＝a/10^k＋378/(999･10^k)＝a/10^k＋14/(37･10^k)

　よって、37･10^k＝(37a＋14)n になります。

　ここで、ａの１の位は８以外の数だから、37a＋14 は 10の倍数ではありません。

　ｎは 10の倍数でなく、37a＋14 は 37の倍数でないことも考慮すれば、

　37a＋14＝5^k，n＝2^k･37 または 37a＋14＝2^k，n＝5^k･37 になります。

　37a＋14＝5^k のとき、mod 37 として、5^k≡14 、5³＝125≡14 なので、

　 5³(5^k-3－1)≡0 、14(5^k-3－1)≡0 、8･14(5^k-3－1)≡8･0 、5^k-3≡1 になります。

　 下の[参考]により、k－3 は 36の倍数となり、k＝36m＋3 (m＝0，1，2…)と表せます。

　 このとき、n＝2^k･37＝2^36m+3･37 になります。

　37a＋14＝2^k のとき、mod 37 として、2^k≡14 、2³⁶･5³≡1･14 より、2³³･10³≡14 、2³³≡14 なので、

　 2³³(2^k-33－1)≡0 、14(2^k-33－1)≡0 、8･14(2^k-33－1)≡8･0 、2^k-33≡1 になります。

　 下の[参考1]により、k－33 は 36の倍数となり、k＝36m＋33 (m＝0，1，2，…)と表せます。

　 このとき、n＝5^k･37＝5^36m+33･37 になります。

　従って、n＝2^36m+3･37， 5^36m+33･37 (m＝0，1，2，…)と表せます。

　小さい方から、n＝2³･37， 2³⁹･37， 2⁷⁵･37， 5³³･37，…… です。


[参考1]

　37より小さい自然数ｐについて、mod 37 として、p^N≡1 を満たす自然数Ｎを求めます。

　p^N≡1 を満たす最小の自然数Ｎをｃとし、N÷c の商をｑ，余りをｒとすれば、

　1≡p^N＝p^cq+r＝(p^c)^q･p^r≡1^q･p^r≡p^r となって、r＜c だから、r＝0 、従って、Ｎは ｃの倍数になります。

　また、フェルマの小定理により、p³⁶≡1 ですので、36はｃの倍数、ｃは 36の約数になります。

　p＝2 のとき、2¹＝2，2²＝4，2³＝8，2⁴＝16，2⁶＝64≡27，2⁹≡8･27≡31，2¹²≡27²≡26，2¹⁸≡31²≡36

　だから、2^c≡1 を満たす最小の自然数ｃは、c＝36 です。

　p＝5 のとき、5¹＝5，5²＝25，5³＝125≡14，5⁴＝25²≡33，5⁶≡14²≡11，5⁹≡14･11≡6，5¹²≡11²≡10，

　5¹⁸≡6²≡36 だから、5^c≡1 を満たす最小の自然数ｃは、c＝36 です。

　よって、2^N≡1 ，5^N≡1 を満たす自然数Ｎはともに 36の倍数です。


[参考2] uch*n*anさんのコメントより

　378 の循環節の場合， n＝2^36m+3･37， 5^36m+33･37 (m＝0，1，2，…)

　837 の循環節の場合， n＝2^36m+27･37， 5^36m+9･37 (m＝0，1，2，…)

　783 の循環節の場合， n＝2^36m+15･37， 5^36m+21･37 (m＝0，1，2，…)

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