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[答297] 立方数を3桁ずつに区切ったときの和

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答297] 立方数を3桁ずつに区切ったときの和


 2563=16777216 で、これを下から3桁ごとに区切って加えると、

 16+777+216=1009 で、もとの 128 とは異なります。

 ある3桁の数nの3乗を下から3桁ごとに区切って加えるともとの数nと等しいとき、n=?



[解答]

 下から3桁ごとに区切って加えても、もとの数と 999 で割った余りは等しくなります。

 例えば、16777216÷999=16794 余り 10, 1009÷999=1 余り 10 です。

 従って、n3-n は 999 の倍数になります。

 また、n3-n=(n-1)n(n+1), 999=37・27 だから、

 連続する3数 n-1,n,n+1 に 37 の倍数と 27 の倍数が含まれる必要がありますので、

 37a=27b+c として、c=0,±1,±2 を満たす 37a,27b を求めます。

 37・19=27・26+1 だから、37(a-19c)=27(b-26c) となって、

 k を整数として、a=27k+19c,b=37k+26c で表され、

 37a=999k+703c,27b=999k+702c が、99~1000 になるのは、

 ( n-1=99 ,n+1=1000 でも n が3桁になりますので、この範囲で考えます )

  c=0 のとき、k=1 で、37a=27b=999 だから、n=999 または n+1=999 、

  c=1 のとき、k=0 で、37a=703,27b=702 だから、n=703 または n+1=703 、

  c=-1 のとき、k=1 で、37a=296,27b=297 だから、n=297 または n+1=297 、

  c=2 のとき、k=-1 で、37a=407,27b=405 だから、n+1=407 、

  c=-2 のとき、k=2 で、37a=592,27b=594 だから、n+1=594 、

 まとめると、n=296,297,406,593,702,703,998,999 です。

 2963=25934336,2973=26198073,4063=66923416,5933=208527857,

 7023=345948408,7033=347428927,9983=994011992,9993=997002999

 で、条件を満たすのは、2973=26198073 だけです。

☆ これ位であれば、

 37 の倍数は、

 111,148,185,222,259,296,333,370,407,444,481,518,555,592,629,666,703,

 740,777,814,851,888,925,962,999

 27 の倍数は、

 108,135,162,189,216,243,270,297,324,351,378,405,432,459,486,513,540,

 567,594,621,648,675,702,729,756,783,810,837,864,891,918,945,972,999

 と書きだして、差が2以下になる組を見つける方が早いです。

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Comments 20

There are no comments yet.
uch*n*an  
No title

この問題は,最初つまらないミスをしましたが,[解答]と同じ解法でした。
いまいち候補を絞り込めないのが少し残念です。
禁じ手なのでしょうが,プログラムを組むのが一番楽な問題だと思います。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これは、はじめ視界不良でしたが...^^;
>n3-n は 999 の倍数になります。
>また、n3-n=(n-1)n(n+1), 999=37・27 だから、
>連続する3数 n-1,n,n+1 に 37 の倍数と 27 の倍数が含まれる必要...

↑に気付けて視界が開けました...^^
but...そこからも結構な計算が待ってましたけど...^^;;...
[再出発]さんの発見...追試♪
297^2=88 209...ほんに!!

ついでに...
297^4=7 780 827 681→2295→297
297^5=2 310 905 821 257→2295→297
これ以上はしないけど...なんで...?

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
台風が通り過ぎてこちらもまだ涼しいです。
ところで、この花がハマユウです。新潟には咲いていないのですか?

いっちゃん  
No title

こんにちは。
ハマユウもすてきですが
周りに咲いてるのはナデシコ?
可愛いですね。。
ポチ

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ハマユウが宮崎県花だと知りました。
道の駅「フェニックス」から海岸に下って行った時に沢山見たことを思い出します。
青島にも自生していました。

いっちゃん  
No title

あ!同タイム♪
Wポチ

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ハマユウの横のはハマナデシコですか。名前が分かりませんでした。
ここは海のすぐ近くなのですが、海は高度成長期に汚染されました。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ハマユウは独特な美しさの花ですね。
海の香りのする所に似合ういい花です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ハマユウの花は複雑な形ですね。
絵に描くのでなく、写真だから苦になりません。笑

黒翼  
No title

一番最初の行に書かれている事実は知りませんでした.
これは知っておきたかった問題ですね.ポチ☆

黒翼  
No title

Wポチ☆☆でした.

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ハマユウとハマボウを目当てに自転車で浜寺公園に行きました。
この複雑な形に「かわゆい」というのは私にはない感覚で、新鮮です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
「解開示を楽しみに待っていた」のコメントを頂き、ブログを続けていて良かったと感じます。

ヤドカリ  
No title

再出発さん、コメントを有難う御座います。
2乗の場合はカプレカ数と云います。
詳しくは、 http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/4697168.html をご覧ください。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
3桁のカプレカ数は3個ありますが、
3乗にすれば1つだけに決まりましたので紹介の意味で出題しました。
絞りきれないのが不満ですが。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
297^2≡297 (mod 999) だから、297^n≡297 (mod 999) が成り立ちます。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
周りに咲いてるのはハマナデシコだそうです。
私も知りませんでした。結構かわいい花でした。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
P(x) を x-1 で割った余りが P(1) ですね。
x=1000 と考えると、999で割った余りは、1000を1として扱えばいいことが分かります。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
そっか...!!...グラッチェ ~m(_ _)m~
297^n≡297^(n-1)≡...≡271^2≡271 になるからなのね...^^

271^2 の3桁の和=271→271^2≡271 mod 999 という意味を理解しました ♪

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
途中からどういうわけか、297⇒271 になっていますね。