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[答298] 放物線の長さ

ヤドカリ

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[答298] 放物線の長さ


 放物線 y=x2/36 の、(0,0) から (24,16) までの長さは?


[解答1]

 ∫√(x2+A)dx=(1/2){ x√(x2+A)+Alog|x+√(x2+A)| }+C
です。

 y=x2/36
のとき、y'=x/18 、 求める長さは、

 ∫024 √((y')2+1)dx=∫024 √(x2/324+1)dx=(1/18)∫024 √(x2+324)dx

  =(1/18)(1/2)[x√(x2+324)+324log|x+√(x2+324)|]024

  =(1/36)[x√(x2+324)]024+9[log|x+√(x2+324)|]024

  =(1/36)・24・30+9(log54-log18)=20+9・log3

 ☆ 放物線の式は簡単ですが、長さを求めるのは厄介です。

 ☆ 20+9log3=29.88751……


[解答2] 再出発さんのコメントより

 求める長さを L とすれば、

 L=∫024 √(x2/324+1)dx

  x=18tanθ (-π/2<θ<π/2) とおけば、dx=(18/cos2θ)dθ

 L=18∫0arctan(4/3) (1/cos3θ)dθ

  sinθ=t とおけば、cosθdθ=dt

 L=18∫04/5 {1/(1-t2)2}dt

  =(9/2)∫04/5 {(1+t)-2+(1-t)-2+(1+t)-1+(1-t)-1}dt

  =(9/2)[-(1+t)-1+(1-t)-1+log(1+t)-log(1-t)]04/5

  =(9/2)〔{-5/9+5+log(9/5)-log(1/5)}-0〕=(9/2)(40/9+log9)=20+9・log3



[参考1]

 √(x2+A) の積分は、√(x2+A)=t-x とおきます。

  √(x2+A)=t-x より、x2+A=t2-2tx+x2、x=(t-A/t)/2、

  dx/dt=(1+A/t2)/2、√(x2+A)=t-x=(t+A/t)/2

 ∫√(x2+A)dx=(1/4)∫(t+A/t)(1+A/t2)dt=(1/4)∫(t+2A/t+A2/t3)dt

  =(1/4)(t2/2+2Alog|t|-A2/2t2)+C=(1/2){(t-A/t)(t+A/t)/4+Alog|t|}+C

  =(1/2){x√(x2+A)+Alog|x+√(x2+A)|}+C

 ☆ もちろん、結果を知っていれば、微分して確かめるのが楽です。


[参考2]

 P から x軸への垂線の足をH,OHの中点をM,焦点をF とすれば、( PMはPでの接線ですが、)

 放物線 y=ax2 の、O(0,0) から P までの長さは、PM+OF・log{(PM+PH)/MH} になりました。

 本問では、OF=9,PH=16,MH=12 より PM=20 、長さは 20+9・log{(20+16)/12}=20+9・log3 です。

 △MHP を 3:4:5 の三角形にして、答がなるべく単純になるように作問しました。

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Comments 20

There are no comments yet.
Yasuko  
No title

こんにちは(^o^)
似かよったお花紛らわしいですね(笑)
美しいお花だもん✿どちらでも良いわ✿
き✿れ✿い✿で✿す✿
☆ポチ

Yasuko  
No title

W!☆☆入りましたぁ~☆

tsuyoshik1942  
No title

正規の算数学的な手法で解することを優先していますが、それが叶わぬ時は、手段は選ばず解を見つけることを目標としております。
本題は後者で、web検索に助けられました。類題を見つけ、それをなぞり、それらしき答が導かれた時は、邪道ですがうれしかったです。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
トロロアオイです。よく似ていて分かりにくいですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
これもオクラとよく似ていますね。
トロロアオイの薄黄色も綺麗でした。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私も花を愉しんでいます。薄く透けて背後の葉が映っていました。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、早速のコメントを有難う御座います。
私はこんな単純な形の長さがこんなに苦労して求めないといけないことが不思議です。
仰る通り、先人の知恵に私も敬意を表します。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
貴殿は、∫{1/√(x^2+A)}dx で公式を使っておられますが、
これを知っていれば部分積分ですね。
これも知らなくても出来るように、置換の方法を示しました。

ヤドカリ  
No title

再出発さん、早速のコメントを有難う御座います。
この積分の形をそのように解くこともできますので、紹介のために示しました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰る通り、トロロアオイです。
私は食べたことがないので、味は分かりませんが、花を愉しめばいいでしょう。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
[参考1]の方法は、仰る通り、いちばん統一的ですので、紹介しておきたかったことです。
双曲線関数の逆関数が見え見えなのですが、
解答の時に「x = a * (e^t - e^(-t))/2 とおく方法」は誰も取り上げていませんでした。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
「美しいお花だもん✿どちらでも良いわ✿」
⇒ 見に行って下さいね。昨日、錦織公園の里の家で撮ったばかりですよ。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
数学の問題は解けた時の喜びが大きいですね。
類題を見つけて、参考にするのは、立派な解き方だと私は思います。
テストではないのですから。

黒翼  
No title

そうですね.確かに部分積分だと
∫{1/√(x^2+A)}dxの結果を知っている必要がありますね.

積分はいろいろなやり方があって興味深いです.

僕は今積分を勉強している最中なので,ちょっと複雑なものでも何気なく使ってしまうのかもしれません.
ただ,機転の利く置換,部分積分は常に練習するよう心がけています.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、再度のコメントを有難う御座います。
どこまで、公式を使えるかによって、積分の仕方も変わってきますね。

こっこちゃん  
No title

こんばんは

オクラの花 かわいいですね

実もなるのですか オクラはよく食べます。 ポチ

いっちゃん  
No title

ほんと、オクラに似ていますね。
世界に似た人が3人いるといいますが、私も「違う」と言ってるのにいいや、間違いない○ちゃんだろ?
どんな人か見てみたいです。
トトロアオイちゃんも間違えられたら怒っていいですよ^^ポチ

いっちゃん  
No title

ハイ、wポチです^^

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
錦織公園に「里の家」という所があり、畑があります。
そこでトロロアオイと書いて作られていたものですので、実もできると思います。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
花は似た花が3つよりもっと多いと思います。
怒らずに美しく咲いていました。