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[答299] 平面による空間の分割

ヤドカリ

ヤドカリ



[答299] 平面による空間の分割


 1枚の平面で最大2個、2枚の平面で最大4個、3枚の平面で最大8個に空間は分割されます。

 では、12枚の平面で空間を分割すると最大何個?

 最大個数は、どの2平面も平行でなく、どの3平面も1直線を共有せず、

 どの4平面も1点で交わらない場合です。


[解答1]

 図は4枚目の平面が他の3平面を交わってできる交線を表しています。

 第172問の解答解説( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-499.html )のように、

 n本の直線で平面は最大 (n2+n+2)/2 個に分割されます。

 k枚目の平面を加えると、k枚目の平面にはすでにある(k-1)枚の平面との交線があり、

 k枚目の平面は、{(k-1)2+(k-1)+2}/2=(k2-k+2)/2 個に分割されています。

 つまり、空間の分割が (k2-k+2)/2 個増えることになります。

 平面がない状態での空間は1個だから、

     n
 1+Σ(k2-k+2)/2=1+n(n+1)(2n+1)/12-n(n+1)/4+n
    k=1

  =(n+1)(n2-n+6)/6 個になります。

 n=12 のとき、(12+1)(122-12+6)/6=299 個になります。


[解答2]

 第172問の解答解説( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-499.html )のように、

 直線で平面は最大( 1+直線の数+交点の数 )個に分割されます。

 これは、平面がない状態(1個)から、( 平面の数+直線の数+交点の数 )個増えることを示しています。

 従って、1+12+122123=299 個です。

☆ 一般に、n枚の平面で空間は最大 n0n1n2n3 個に分割されます。

☆ 第172問のように、n本の直線で平面は最大 n0n1n2=(n2+n+2)/2 個に分割されます。

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Comments 20

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ニリンソウ  
No title

タイタンビカスって言うのですか。
白くてこれも大きいのでしょう目立ちそうですね。

ポチ

いっちゃん  
No title

こんにちは。
タイタンビカスって初めて聞いた名前です。検索してみたら、背も高く大きな花が咲くみたいですね。。
あさがおの代わりにグリーンカーテンにしたらすごく
きれいでしょうね。。ポチ

いっちゃん  
No title

はい、今日もWでした。

さっちゃんこ  
No title

こんにちは。
アメリカフヨウと思ったんですけど葉っぱ見るとタイタンビカスみたいですね。この色は始めてです。我が家のはピンクと赤です。
この種は昨年あたりから出回ってますね。 ポチ

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
アオイ科の植物は交配しやすいというのは知りませんでした。
楽しみでもありややこしくもあり、です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチとTBを有難う御座います。
この花も昨日のと同じタイタンビカスの色違いです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
貴女は薄いピンクがお好きかと思っていました。
仰る通り、白は清楚な感じがしますね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
Cによる書き方も解答に加えました。
公式としても覚えやすいし、感動した方もいらっしゃるようですので。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、コメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
「昔は真っ白だったのに、真っ白の花から~ピンクに染まりました」
という昨日のコメントの続きでしょうか?
仰ることが事実かどうかは知る由もありませんが、ご自分を外から見ようとされているのは、
素晴らしいことです。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
ガンマ関数が出てくるなんて、発想が豊かですね。
この名前を久しぶりに見ました。
でも、ガンマ関数をネタに作問するのは手に余ります。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
昨日のタイタンビカスの横に咲いていました。
花が上向きだったので地面が写っていますが、同じくらいの大きさでした。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
確かに花は大きいのですが、蔓性の植物ではありませんので、
グリーンカーテンにするには大変だと思います。
背丈とともに値段も高いですよ。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとポチを有難う御座います。
昨年あたりからですか。
私は花の文化園という所で見たのですが、名前は全然見覚えがなかったので、
新しい品種かと思っていました。
白が映えるいいタイミングで見ました。

ふじも  
No title

nCrで表した式はきれいですね。
3次元ならr=3、2次元ならr=2までの和になっていますね。

ヤドカリ  
No title

ふじもさん、コメントを有難う御座います。
簡単ですが、1次元ならr=1までの和です。
きれいな式ですね。

いっちゃん  
No title

あ!お値段は視野に入っていませんでした。。

赤字になりまする。レッドカーテンです。笑

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、再度のコメントを有難う御座います。
ブルジョア?のいっちゃんには失礼だなぁと思いながら値段のことを描いたのに、
話を合わせてくれて有難いです。

黒翼  
No title

空間の分割はイメージができずに断念しました.

何度も読み直してイメージをつかみたいと思います.ポチ☆

黒翼  
No title

Wポチ☆☆でした.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
空間は考えにくいので、平面での切り口を考えるのが1つの方法です。
立体の表面だけを考える場合は展開図です。