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[答300] 正三角柱の切り口

ヤドカリ

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[答300] 正三角柱の切り口


 1辺が 20 の正三角形を底面とする正三角柱を、切り口が直角三角形で底面に触れないように切断します。

 その切り口の面積Sの最小値は?


[解答]

 切り口の三角形の頂点を手前からB,A,Cとし、Aを通り底面に平行な切り口の正三角形に対し、

 Bは手前xの所にあり、Cは向こうyの所にあるものとします。

 AB2=202+x2, AC2=202+y2

 BC2=202+(x+y)2, BC2=AB2+AC2 だから、

 202+(x+y)2=202+x2+202+y2、 202+x2+2xy+y2=202+x2+202+y2

 xy=200 となります。

 S2=AB2・AC2/4=(202+x2)(202+y2)/4

 コーシー・シュワルツの不等式により、 (202+x2)(202+y2)≧(20・20+xy)2 だから、

 S2≧(400+200)2/4=90000 、S≧300 になります。

 等号が成立するのは 20:x=20:y 、x=y=10√2 のとき、AB=AC=10√6 のとき です。


 なお、次のように式変形しても最小値が出ます。

 S2=(202+x2)(202+y2)/4=40000+100(x2+y2)+(xy)2/4

  =40000+100(x2+y2)+2002/4=50000+200(x2+y2)/2

 ここで、相加平均・相乗平均の関係により、 (x2+y2)/2≧√(x2y2)=xy=200 だから、

 S2≧50000+200・200=90000、 S≧300 となります。

 等号は、x2=y2=200 のときに成り立ちます。

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Comments 20

There are no comments yet.
ニリンソウ  
No title

ホテイアオイが素敵に撮れてます!
真ん中に目があるようなおもしろい模様ですよね。

ポチ

uch*n*an  
No title

私の解法は[解答]と同じでした。
相加相乗平均も気付いてはいましたが,コーシー・シュワルツの不等式の方が簡単だし,
どうせなら,
(x^2 + 20^2)(y^2 + 20^2) = 20^2 * (x - y)^2 + 20^2 * 2xy + (xy)^2 + 20^2 * 20^2
と変形して,x = y のとき最小,とやった方が,何とかの不等式を持ち出さなくて済むよな,
と思って,解答にはしませんでした。
いずれにせよ,これは標準的ないい問題だと思います。

いっちゃん  
No title

こんにちは。。
ホテイアオイは可愛い花ですね。紫色がグラディーションで綺麗だし。。朝咲き夕にはしぼむ、儚げなとこも好まれるのかもしれませんね。。

Wポチです^^

uch*n*an  
No title

>つまり、直角二等辺三角形ではだめなのかな...?
えと,もちろん直角二等辺三角形だと思いますが,何か問題がありますか?

スモークマン  
No title

>uch*n*anさんへ ^^
直角二等辺三角形しかないなら...
高さが決まってるので...面積=高さ^2 と一意に決まっちゃう...
(つまり...最小も最大もなくという意味です)...?
...と思ったもので...^^;...Orz...

uch*n*an  
No title

えと,面積最小は直角二等辺三角形になりますが,直角になる場合は他にもあります。
早い話が x ≠ y ならばいいです。何か勘違いされているのでは?

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰る通り、この花もこの時期の綺麗な花です。
水に浮く姿がいいですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチとTBを有難う御座います。
私の記事は単に写真を添えているだけで、ホテイアオイがメインでないので恐縮です。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
答だけなら直角二等辺三角形と見当をつけて答を出すことができますが、
それをしたくなかったのでしょうね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
実は、花より葉が多くてこの角度からしか撮れませんでした。
意識して狙った角度ではありませんので、評価されると恐縮します。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントと珍しくなくなった?Tポチを有難う御座います。
よくそれだけ旨くできるものだと驚きです。
ところで、ホテイアオイの青紫、私も涼しさを感じます。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
貴女の所の3株も待ち遠しいでしょうね。
私にとっても好きな花です。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、早速のコメントを有難う御座います。
解答のように、xy=200 になるようにすれば、直角三角形です。
uch*n*anさんのコメントの通りです。
勘違いをしても正解が出る様な問題になってしまって、
出題者としてはちょっと残念です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰る通り、よく見れば、おもしろい模様でした。
模様を意識的に撮れれば良かったですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントとcrazy_tomboさんへの回答を有難う御座います。
仰る通り、相加平均・相乗平均を持ち出さずに、ツラッと式変形しておく方が良かったですね。
相加平均・相乗平均の関係を証明する式変形そのものですから。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントと嬉しいWポチを有難う御座います。
貴女は心に残る儚い花がお好きなようですね。
体形がホテイ様にならないように、お互いに健康には気を付けましょう。

いっちゃん  
No title

やどかりさんの布袋様の姿を想像してみました。
可愛いです^^
私は、絶対いやです。。笑
でもこの袋を浮き袋代わりにすれば、すいすい泳げそう。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、再度のコメントを有難う御座います。
リコメにどう書いていいのか???です。

スモークマン  
No title

>uch*n*anさん&やどかりさんへ
お騒がせいたしました...^^;...納得です Orz
そういうものが存在してることはわかりましたが... x ≠ y でない場合は...直角三角形AXYのAからXYへの垂線の長さ>Aからの真下への長さだから...最小はAから真下への距離が直角三角形の高さになる場合と考えてもいいですよね?
アバウトすぎて駄目ですかねぇ...^^;;...

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
高さだけでは……。底辺も考えないといけません。
両方を考えるなら、直接解答のように計算する方が楽ではないでしょうか。