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[答307] 角の二等分線と三角形の面積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答307] 角の二等分線と三角形の面積


 BC=4 である△ABCの、∠Aの二等分線とBCの交点をD,∠Bの二等分線とCAの交点をE,

 ADとBEの交点をIとすると、AI:ID=3:2, BI:IE=9:5 になりました。この△ABCの面積は?


[解答1]

 角の二等分線の性質を使えば、

 AB=9a とすれば BA:AE=BI:IE=9:5 より AE=5a 、AB:BD=AI:ID=3:2 より BD=6a です。

 また、CE:EA=CB:BA より CE:5a=4:9a 、CE=20/9 になり、

 更に、CD:DB=CA:AB より (4-6a):6a=(20/9+5a):9a 、a=17/63 になります。

 よって、AB=9a=17/7,AC=AE+EC=5a+20/9=25/7 になります。

 このまま計算すると複雑ですので、k=1/7 とすれば、

 BC=28k,CA=25k,AB=17k となり、(28k+25k+17k)/2=35k だから、ヘロンの公式により、

 △ABC=√{35k(35k-28k)(35k-25k)(35k-17k)}=√(35k・7k・10k・18k)=210k2

  =210/49=30/7 になります。


[解答2]

 AI:ID=3:2 より、AD:ID=5:2 、△ABC:△IBC=5:2 になります。

 BI:IE=9:5 より、BE:IE=14:5 、△ABC:△ICA=14:5 になります。

 従って、△ABC:△IBC:△ICA=70:28:25 、△IBC:△ICA:△IAB=28:25:17 、

 I は△ABCの内心だから、BC:CA:AB=28:25:17 になります。

 BC=28k,CA=25k,AB=17k とおくと、BC=28k=4 より、k=1/7 になります。

 また、(28k+25k+17k)/2=35k だから、ヘロンの公式により、

 △ABC=√{35k(35k-28k)(35k-25k)(35k-17k)}=√(35k・7k・10k・18k)=210k2

  =210/49=30/7 になります。

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Comments 15

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古い人  
No title

今日はタカサゴユリですね。

ユリの中では丈夫で自然に彼方此方咲いてますね。

我が家でも植えた覚えが無いのに此の時期二本程咲いてますよ。

白くて細長い花綺麗ですね。 ポチ。

ニリンソウ  
No title

鉄砲百合でしょうか~
透き通るほどの白さが目に沁みます。
もしタカサゴユリ野生なら惹かれますね、あまりこの辺で
見かけないのです。

ポチ

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
風に乗って種子が運ばれるそうですね。
これも多分、自然に咲いたものでしょう。

アキチャン  
No title

おはようございます。
白いお花はどれも好きですが、
やはり、清楚というのはユリにいう言葉でしょうね (o^-^o)
綺麗!ポチ♪

こっこちゃん  
No title

タカサゴユリ ユリ仲間の最後に

咲き 白で清楚なので好きな花です。 ポチ

rosastone  
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おはようございます。
これは書かれていることが単純なので、
もしかしたら私レベルでも解ける問題か?と少し考えましたが、
こういう(ヘロンの公式??@@)こともあろうかと早めに切り上げて良かったです(笑)

花の種類についても、みなさんお詳しいですね!^^ ぽち☆

uch*n*an  
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私は三つの方法で解きました。
(解法1)と(解法2)が[解答1]の,(解法3)が[解答2]の,バリエーションでした。
いずれにしても,△ABC の三辺の比を求めるのがポイントのようですね。
なお,ヘロンの公式は知らずとも,三平方の定理までで出来ます。
さらに,3:4:5,8:15:17 が直角三角形を知っていれば,算数の範囲で何とかなります。
もっとも,3:4:5 はともかく,8:15:17 はちょっと小学生には無理でしょうね。

ゆうこ つれづれ日記  
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雨のしずくを受けた白いユリが美しいです。
古風な女(ひと)を連想させられました。
ポチッ☆

さっちゃんこ  
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こんばんは。タカサゴ百合と鉄砲ユリよくにていますよね。
こうやって正面から見るとどっちがどっちだか分りません。
タカサゴ百合には薄赤い線が縦に入っているのでそれで見分けるようです ポチ

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
タカサゴユリは純白で俯き加減で、清楚な感じの花ですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
もう暦の上では秋、ユリの季節も終わりかと思いますが、
最後に咲くタカサゴユリは清楚そのものですね。

ヤドカリ  
No title

ローザさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ヘロンの公式を使うと三角形の3辺から面積を求めるのに便利です。
垂線を引いて高さを求めても中学の知識でできますが、公式を使うと楽ですよ。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
内心に絡んでますので、3辺の比を求めるのはやはり面積比が楽かと思います。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとポチを有難う御座います。
人為的に品種改良されたものでないのが古風なのでしょうか。
私は雫のついた花が好きです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとポチを有難う御座います。
私は葉の形状で見分けています。
百合も似た花が多くて難しいですね。