[答307] 角の二等分線と三角形の面積
[答307] 角の二等分線と三角形の面積
BC=4 である△ABCの、∠Aの二等分線とBCの交点をD,∠Bの二等分線とCAの交点をE,
ADとBEの交点をIとすると、AI:ID=3:2, BI:IE=9:5 になりました。この△ABCの面積は?
[解答1]
角の二等分線の性質を使えば、
AB=9a とすれば BA:AE=BI:IE=9:5 より AE=5a 、AB:BD=AI:ID=3:2 より BD=6a です。
また、CE:EA=CB:BA より CE:5a=4:9a 、CE=20/9 になり、
更に、CD:DB=CA:AB より (4-6a):6a=(20/9+5a):9a 、a=17/63 になります。
よって、AB=9a=17/7,AC=AE+EC=5a+20/9=25/7 になります。
このまま計算すると複雑ですので、k=1/7 とすれば、
BC=28k,CA=25k,AB=17k となり、(28k+25k+17k)/2=35k だから、ヘロンの公式により、
△ABC=√{35k(35k-28k)(35k-25k)(35k-17k)}=√(35k・7k・10k・18k)=210k2
=210/49=30/7 になります。
[解答2]
AI:ID=3:2 より、AD:ID=5:2 、△ABC:△IBC=5:2 になります。
BI:IE=9:5 より、BE:IE=14:5 、△ABC:△ICA=14:5 になります。
従って、△ABC:△IBC:△ICA=70:28:25 、△IBC:△ICA:△IAB=28:25:17 、
I は△ABCの内心だから、BC:CA:AB=28:25:17 になります。
BC=28k,CA=25k,AB=17k とおくと、BC=28k=4 より、k=1/7 になります。
また、(28k+25k+17k)/2=35k だから、ヘロンの公式により、
△ABC=√{35k(35k-28k)(35k-25k)(35k-17k)}=√(35k・7k・10k・18k)=210k2
=210/49=30/7 になります。
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