[答307] 角の二等分線と三角形の面積

[答307] 角の二等分線と三角形の面積


　BC＝4 である△ABCの、∠Aの二等分線とBCの交点をD，∠Bの二等分線とCAの交点をE，

　ADとBEの交点をIとすると、AI：ID＝3：2， BI：IE＝9：5 になりました。この△ABCの面積は？


[解答1]

　角の二等分線の性質を使えば、

　AB＝9a とすれば BA：AE＝BI：IE＝9：5 より AE＝5a 、AB：BD＝AI：ID＝3：2 より BD＝6a です。

　また、CE：EA＝CB：BA より CE：5a＝4：9a 、CE＝20/9 になり、

　更に、CD：DB＝CA：AB より (4－6a)：6a＝(20/9＋5a)：9a 、a＝17/63 になります。

　よって、AB＝9a＝17/7，AC＝AE＋EC＝5a＋20/9＝25/7 になります。

　このまま計算すると複雑ですので、k＝1/7 とすれば、

　BC＝28k，CA＝25k，AB＝17k となり、(28k＋25k＋17k)/2＝35k だから、ヘロンの公式により、

　△ABC＝√{35k(35k－28k)(35k－25k)(35k－17k)}＝√(35k･7k･10k･18k)＝210k²

　 ＝210/49＝30/7 になります。


[解答2]

　AI：ID＝3：2 より、AD：ID＝5：2 、△ABC：△IBC＝5：2 になります。

　BI：IE＝9：5 より、BE：IE＝14：5 、△ABC：△ICA＝14：5 になります。

　従って、△ABC：△IBC：△ICA＝70：28：25 、△IBC：△ICA：△IAB＝28：25：17 、

　I は△ABCの内心だから、BC：CA：AB＝28：25：17 になります。

　BC＝28k，CA＝25k，AB＝17k とおくと、BC＝28k＝4 より、k＝1/7 になります。

　また、(28k＋25k＋17k)/2＝35k だから、ヘロンの公式により、

　△ABC＝√{35k(35k－28k)(35k－25k)(35k－17k)}＝√(35k･7k･10k･18k)＝210k²

　 ＝210/49＝30/7 になります。

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