[答308] 約数が35個ある５桁の自然数

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[答308] 約数が35個ある５桁の自然数


　正の約数が35個ある５桁の自然数は？


[解答]

　35＝5･7 だから、正の約数が35個ある自然数ｎは、素数ｐ，ｑを使って、

　n＝p³⁴ または n＝p⁴q⁶ と表され、条件より、10000≦n＜100000 です。

　数が大きいですので、√n＝p¹⁷ または √n＝p²q³，100≦√n≦316 として考えます。

　2⁹＞316 ですので、√n＝p¹⁷ は 100≦√n≦316 を満たしません。

　2²＝4，3²＝9，5²＝25，7²＝49，……，

　2³＝8，3³＝27，5³＝125，…… ですので、

　2²･3³＝108 と 2³･5²＝200 だけが 100以上 316以下になります。

　従って、n＝108²，200²＝11664，40000 です。

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