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[答309] 等脚台形と対称な点

ヤドカリ

ヤドカリ



[答309] 等脚台形と対称な点


 AD//BC,AD:BC=13:20 である等脚台形ABCDがあって、対角線BDに関してAと対称な点をP,

 DP と BC の交点をQとすると、QC+QP=QB になりました。 BD=33 とすると、PC=?


[解答1]

 APとBCの交点をRとします。

 ∠PRQ=∠BRA=∠RAD=∠DPR より、QP=QR で、QC+QP=QB より、BR=CQ です。

 従って、△ABR≡△DCQ となって、∠ARB=∠DQC,∠PRQ=∠PQR だから、

 △PQR,△PDA は正三角形です。

 また、∠QDB=∠ADB=∠QBD より、QD=QB です。

 AD+BC=PD+BC=(PQ+QD)+(CR-RQ+QB)=PQ+QB+QB-PQ+QB=3QB で、

 AD:BC=13:20 より AD=13k とすれば BC=20k,QB=QD=11k,QC=9k,PQ=2k です。

 ∠PQC=∠PQC=120゚ だから、BD=11k√3,PC=k√103 となって、

 PC=(√309/33)BD=√309 になります。


[解答2]

 辺BCの延長上に、CS=PQ となるように点Sをとると、QC+QP=QB より、QS=QB です。

 また、∠QDB=∠ADB=∠QBD より、QD=QB です。

 更に、CS=PQ ,CD=AB=PB ,∠DCS=∠DAB=∠BPQ より、△DCS≡△BPQ 、SD=QB です。

 よって、QS=QD=SD=QB 、△DQSは正三角形 ,BS:SD=2:1 となって、

 QS=QD=SD=QB=BD/√3=33/√3=11√3 になります。

 次に、

 AD+BC=PD+BC=(PQ+QD)+(QB+QS-CS)=PQ+11√3+11√3+11√3-PQ=33√3 で、

 AD:BC=13:20 だから、AD=13√3 ,BC=20√3 、

 CS=QP=DP-DQ=AD-DQ=13√3-11√3=2√3 ,QC=QS-CS=11√3-2√3=9√3 となり、

 ∠PQC=120゚ だから、余弦定理より、

 PC2=QP2+QC2-2・QP・QCcos120゚=12+243+54=309 、

 PC=√309 になります。


☆ 実は、CD=AB=PB も √309 になります。

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Comments 14

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アキチャン  
No title

おはようございます。
夏水仙でしょうか、、かわいい色合いですネ (o^-^o)
ポチ♪

ニリンソウ  
No title

おはようございます
ナツスイセン、これもヒガンバナ科ですね。
優しい色です。 ポチ

さっちゃんこ  
No title

おはようございます。
ナツズイセン綺麗に咲きましたね。
我が家のはもうすっかり花は無くなり
種に成ろうとしています。ポチ

古い人  
No title

ナツスイセン優しい色ですね。

名前から想像するともっと濃い色を想像しますね。

ポチ。

uch*n*an  
No title

私の解法は[解答1]でした。ただ,
>PC=(√309/33)BC=√309 になります。
PC=(√309/33)BD ですね。
[解答2]は思い付きませんでした。なるほど,こんな解法もあるんですね。
「☆」は対称性より明らかでしょう。
なお,出題解答時にもコメントしましたが,
この問題は,易し過ぎず難し過ぎず,高校入試には最適な感じの問題だと思います。
ただ,やどかりさんのリコメにもあったように,配点を考えるのと,
答えだけだと図から対称かなと当て勘で解いてしまう子もいると思うので,
証明も混ぜるなど,設問に分けた方がよさそうですね。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これも面白い問題でした ^^v
パズルチックな味/テイストに舌鼓打てました♬
気づけたときの快感の味...美味い Orz~

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
レインリリーと同種の華の写真を使いました。
ビデオは見せて頂きました。

こっこちゃん  
No title

こんにちは

ナッズスイセン 淡いピンクですてきですね。 ポチ

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰る通り、優しい色でした。
昨日と同じ種類の花ですが、花弁の形がちょっと複雑です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
少し前に撮りました。
今も咲いているかどうかは分かりませんが、ピンクが目立ちました。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ナツズイセン、私がはじめてこの名前に接した時は白を想像しました。
人の感覚が多様なように、花も多種多様で面白いですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントとミスタイプの指摘を有難う御座います。
この問題は QC+QP=QB の条件のため形が決まってしまいました。
対称になってしまったために直感で解けますね。
[解答2]は QC+QP=QB の条件を視覚的に捉えるとこのようになるという解法です。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
仰る通り、パズルのような問題でもあります。
数学とパズルの境界線が私にはイマイチ分かりませんが。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
このナツズイセンの淡いピンク、貴女の名前アイコンの色とほとんど同じですね。