[答309] 等脚台形と対称な点

[答309] 等脚台形と対称な点


　AD//BC，AD：BC＝13：20 である等脚台形ABCDがあって、対角線BDに関してＡと対称な点をＰ，

　DP と BC の交点をＱとすると、QC＋QP＝QB になりました。 BD＝33 とすると、PC＝？


[解答1]

　APとBCの交点をＲとします。

　∠PRQ＝∠BRA＝∠RAD＝∠DPR より、QP＝QR で、QC＋QP＝QB より、BR＝CQ です。

　従って、△ABR≡△DCQ となって、∠ARB＝∠DQC，∠PRQ＝∠PQR だから、

　△PQR，△PDA は正三角形です。

　また、∠QDB＝∠ADB＝∠QBD より、QD＝QB です。

　AD＋BC＝PD＋BC＝(PQ＋QD)＋(CR－RQ＋QB)＝PQ＋QB＋QB－PQ＋QB＝3QB で、

　AD：BC＝13：20 より AD＝13k とすれば BC＝20k，QB＝QD＝11k，QC＝9k，PQ＝2k です。

　∠PQC＝∠PQC＝120ﾟ だから、BD＝11k√3，PC＝k√103 となって、

　PC＝(√309/33)BD＝√309 になります。


[解答2]

　辺BCの延長上に、CS＝PQ となるように点Ｓをとると、QC＋QP＝QB より、QS＝QB です。

　また、∠QDB＝∠ADB＝∠QBD より、QD＝QB です。

　更に、CS＝PQ ，CD＝AB＝PB ，∠DCS＝∠DAB＝∠BPQ より、△DCS≡△BPQ 、SD＝QB です。

　よって、QS＝QD＝SD＝QB 、△DQSは正三角形 ，BS：SD＝2：1 となって、

　QS＝QD＝SD＝QB＝BD/√3＝33/√3＝11√3 になります。

　次に、

　AD＋BC＝PD＋BC＝(PQ＋QD)＋(QB＋QS－CS)＝PQ＋11√3＋11√3＋11√3－PQ＝33√3 で、

　AD：BC＝13：20 だから、AD＝13√3 ，BC＝20√3 、

　CS＝QP＝DP－DQ＝AD－DQ＝13√3－11√3＝2√3 ，QC＝QS－CS＝11√3－2√3＝9√3 となり、

　∠PQC＝120ﾟ だから、余弦定理より、

　PC²＝QP²＋QC²－2･QP･QCcos120ﾟ＝12＋243＋54＝309 、

　PC＝√309 になります。


☆ 実は、CD＝AB＝PB も √309 になります。

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