[答309] 等脚台形と対称な点
[答309] 等脚台形と対称な点
AD//BC,AD:BC=13:20 である等脚台形ABCDがあって、対角線BDに関してAと対称な点をP,
DP と BC の交点をQとすると、QC+QP=QB になりました。 BD=33 とすると、PC=?
[解答1]
APとBCの交点をRとします。
∠PRQ=∠BRA=∠RAD=∠DPR より、QP=QR で、QC+QP=QB より、BR=CQ です。
従って、△ABR≡△DCQ となって、∠ARB=∠DQC,∠PRQ=∠PQR だから、
△PQR,△PDA は正三角形です。
また、∠QDB=∠ADB=∠QBD より、QD=QB です。
AD+BC=PD+BC=(PQ+QD)+(CR-RQ+QB)=PQ+QB+QB-PQ+QB=3QB で、
AD:BC=13:20 より AD=13k とすれば BC=20k,QB=QD=11k,QC=9k,PQ=2k です。
∠PQC=∠PQC=120゚ だから、BD=11k√3,PC=k√103 となって、
PC=(√309/33)BD=√309 になります。
[解答2]
辺BCの延長上に、CS=PQ となるように点Sをとると、QC+QP=QB より、QS=QB です。
また、∠QDB=∠ADB=∠QBD より、QD=QB です。
更に、CS=PQ ,CD=AB=PB ,∠DCS=∠DAB=∠BPQ より、△DCS≡△BPQ 、SD=QB です。
よって、QS=QD=SD=QB 、△DQSは正三角形 ,BS:SD=2:1 となって、
QS=QD=SD=QB=BD/√3=33/√3=11√3 になります。
次に、
AD+BC=PD+BC=(PQ+QD)+(QB+QS-CS)=PQ+11√3+11√3+11√3-PQ=33√3 で、
AD:BC=13:20 だから、AD=13√3 ,BC=20√3 、
CS=QP=DP-DQ=AD-DQ=13√3-11√3=2√3 ,QC=QS-CS=11√3-2√3=9√3 となり、
∠PQC=120゚ だから、余弦定理より、
PC2=QP2+QC2-2・QP・QCcos120゚=12+243+54=309 、
PC=√309 になります。
☆ 実は、CD=AB=PB も √309 になります。
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