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純循環小数の偶数桁の循環節

ヤドカリ

ヤドカリ


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純循環小数の偶数桁の循環節

 3/13=0.230769230679…… ,8/73=0.1095890410958904…… ,2/189=0.010582010582…… は

 小数に直すと、230769 ,10958904 ,010582 のような偶数桁の循環節をもちます。

 この循環節の前半と後半を加えると、230+769=999 ,1095+8904=9999 ,010+582=592 のように

 9が並ぶものと、そうでないものがあります。

 既約分数を小数に直したとき、

 偶数桁の循環節をもつ純循環小数で、循環節の前半と後半を加えると9が並ぶ

 ものは、どんな場合かを述べたいと思います。


 まず、n/m を、0<n/m<1 を満たす既約分数とし、その循環節が 2k 桁であることにします。

 また、循環節を a・10k+b とし、a+b=10k-1 になるのは、

 すなわち、循環節の前半と後半を加えると9が並ぶのは、どんな場合かを考えます。

 n/m=(a・10k+b)/(102k-1)=(a・10k+10k-1-a)/(102k-1)

  =(a+1)(10k-1)/(102k-1)=(a+1)/(10k+1)

 m(a+1)=n(10k+1) で、m,n は互いに素だから、m は 10k+1 の約数です。

 さらに、10k+1 と 10k や 10k+1 と 10k-1 は互いに素だから、

 m と 10k や m と 10k-1 も互いに素です。

 従って、少なくとも m は 2,5,3 の倍数であってはいけません。

  ( m は 2,5 の倍数のときは混循環小数になります )

 次に、m(a・10k+b)=n(102k-1)=n(10k-1)(10k+1) だから、

 m は (10k-1)(10k+1) の約数ですが、n/m は k 桁では循環しないので、

 10k-1 の約数ではありません。

 従って、m が 7 以上の素数(もちろん n/m の循環節が偶数桁)であれば、10k+1 の約数です。

 まとめると、

 既約分数 n/m の循環節が 2k 桁のとき、循環節の前半のk桁と後半のk桁を加えると9が並ぶのは、

 分母 m が 10k+1 の約数のときです。


  分母 m が 7 以上の素数なら必ずOK

  分母 m が 3 の倍数なら必ずNG

  分母 m が 2,5 の倍数なら 混循環小数になり 対象外

 が、言えます。

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Comments 18

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古い人  
No title

今日の花は若しかしたらミッキーマウスの花ですね。

私も昨年アップした覚えがあります。

花の色が日にちが過ぎると変りますね。

ミッキーマウスそっくりですね、ポチ。

さっちゃんこ  
No title

懐かしい!ミッキーマウスの木
我が家のももうすでに種も何所かに散り行き
今は静かに葉っぱだけの生活に入っています。ポチ

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰る通り、ミッキーマウスの花です。
実のほうはそれらしく見せるために、天地を逆にしました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この木は花の文化園の温室にあるもので、行くたびに見ています。
流石に温室です。
それにしても、家にこの木があるなんて素敵ですね。

スモークマン  
No title

ぎりぎりグーテンターク ^^
これは...貴殿に教えていただいたものの一般解なんですね♪
http://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/45372929.html
にも紹介させていただきましたことお礼申し上げます~m(_ _)m~
整数の二面性1=0.999....を使った美しい解法と理解しました♪
っていうか...熟読玩味ぃ~~~^^;...v
Orz~

こっこちゃん  
No title

( ^-^)ノ(* ^-^)ノこんばんわぁ♪

ミッキーマウスの木 見たことありますよ”

可愛い 花?ですよね” ポチ

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、早速のコメントを有難う御座います。
循環小数って初めて出会う無限ですね。しかも値自体は有限。
不思議な性質をもっています。知らないことも多いです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ミッキーマウスの木は、学名オクナ・セルラタ、で、南アフリカ原産だそうです。
ミッキーが登場する前は何と言ったのか、調べても分かりませんでした。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
私は、撮ったことがないです f(^_^;
赤と黄色で可愛いですネ (o^-^o)ポチ♪

いっちゃん  
No title

うわぁ~~可愛い!!ミッキーマウスというのですか?
シーに行ったとき、ガイドの申し込みをしたら、記念にミッキー君が一緒に写真写ってくれました^^
こんなお花があるんですね。。ポチ

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
花の文化園に行くと毎回目につきます。
今回、わりに納得する形で撮れました。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ディズニーシーに行かれたのですね。
私は、ディズニーシーには行ったことがありません。
ディズニーシーがない頃にランドには行きましたが……。
ディズニーは夢がありますね。

ニリンソウ  
No title

ミッキーマウスの木、花、実、なんですか!
全くわかりませんでした。
面白いですね。 ポチ

uch*n*an  
No title

これは,crazy_tomboさんのサイトにあった問題のより一般的な話ですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この花と実は、私も花の文化園を訪れるまで知りませんでした。
不思議な植物が色々ありますね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
crazy_tomboさんのサイトで鍵コメしたものを氏が発表されましたので、
私は一般化して記事にしました。
循環小数に関しては、まだまだ不思議な性質があるような気がします。

黒翼  
No title

なるほど~

こんなことは考えても見ませんでした.
たとえ考えたとしても,このように一般の場合を導くのはかなわないかなと思います.

ポチ☆

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントとポチを有難う御座います。
循環小数だけでも奥が深くて私の知らないことも多いです。
また、何かに気づけば記事にしたいと思います。