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[答310] 正接が整数の三角形

ヤドカリ

ヤドカリ



[答310] 正接が整数の三角形


 半径5の円に内接する△ABCにおいて、tanA,tanB,tanC のすべてが整数のとき、

 最大辺の長さは?


[解答]

 A≦B≦C としても一般性を失いません。

 C>90゚ とすれば、A+B<90゚,A<45゚ となり、0<tanA<1 で適しません。

 よって、C<90゚ となって、0<tanA≦tanB≦tanC になります。

 2≦tanA とすると、60゚<A≦B≦C だから、△ABCは存在しません。

 よって、tanA=1,A=45゚,B+C=135゚ になります。

 tan(B+C)=(tanB+tanC)/(1-tanBtanC)=-1 だから、

 tanB+tanC=-1+tanBtanC、tanBtanC-tanB-tanC+1=2、(tanB-1)(tanC-1)=2、

 tanB-1=1,tanC-1=2、tanB=2,tanC=3 になります。

 1/sin2C=1+1/tan2C=1+1/9=10/9、

 sin2C=9/10、sinC=3/√10 だから、

 AB=2・5・sinC=10・3/√10=3√10 です。

☆ 図は tanA=1,tanB=2,tanC=3 になる三角形です。

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Comments 18

There are no comments yet.
ニリンソウ  
No title

おはようございます!
今朝も早いでしょ、孫が起きてこないうちに(笑)
黄色いカンナですかこの辺ではカンナあまり見かけないんですよ植えてる所が無い、大きいから小さい庭ではね
涼し過ぎる朝です今日もお元気で。
ポチ

アキチャン  
No title

おはようございます。
バックの水が、濁っていますね。
雨のせいでしょうか・・・ f(^_^;
そんな中でも黄色が光っていますね (o^-^o)ポチ♪

こっこちゃん  
No title

おはようございます

黄色のカンナも いいですね” ポチ

古い人  
No title

黄色にオレンジの綺麗な柄のカンナですね。

元気の出る色です。 ポチ。

さっちゃんこ  
No title

おはようございます。
真っ赤なカンナも良いけど黄色にオレンジのカンナも素敵ですね。
暑さに負けない元気をもらえる色ですね。 ポチ

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
美しい関係ですねぇ♪
可能なら...図示していただければ嬉しいのですが...Orz~
いつもわがままで申し訳ありません...^^;...
実際のあられもない姿を拝みたいと言う、ただそれだけの篤い信仰心みたいなものでして...^^...?...

uch*n*an  
No title

これもいろいろな要素が融合したいい問題で,大学入試によさそうですね。
私の解法も基本的には[解答]と同じでした。
しかし,条件の絞り方がもう一つで若干計算が面倒でした。勉強になりました。
ちなみに,tanA = 1,tanB = 2,tanC = 3 より,
sinA = 1/√2,sinB = 2/√5,sinC = 3/√10 なので,
三角形の三辺の比は √5:2√2:3 に,したがって,三角形の形状は,確定してしまうんですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
こちらではいろんな所に咲いています。
もちろん新潟より狭いので、カンナを咲かせている家は見かけません。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
バックは丸保山古墳の堀です。小さな古墳で、水はいつも濁っています。
その縁で元気に咲いています。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
カンナも色がいくつかありますが、黄色もいいものです。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰る通り、黄色は元気の出る色ですね。
私は春先の黄色がもっと好きです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
カンナは暖色しか見たことがありません。
ほんとうに夏の花という感じです。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、早速のコメントを有難う御座います。
図を追加しました。
こんな形ですが、これ以外にないという説明にはなっていません。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
簡単な条件で形状が決まってしまう例ですね。
これしかなかったのが収穫です。
もちろん、先人が気づいていたと思いますが……。

黒翼  
No title

この問題は時間の都合で拝見することもかないませんでした.

解説を読めばすんなりのみこめるのですが,実際には…
まだまだ先人の知恵を蓄える段階なのでしょう.

ポチ☆

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
おおっ!! Great♪
これで身近な存在になりました ^^v
図示くださりグラッチェです~~~Orz~~~
ちなみに...B(0,0) とすると...外心 O は (5,5)の点になるわけですね♪

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントとポチを有難う御座います。
このような、整数問題はいかに自分の有利な形に絞るかが大切です。
創意工夫するのが面白い問題です。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
垂心H(6,2),重心G(16/3,4)だから、
外心は HG を 3:1 に外分する点を求めて、(5,5)ですね。