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[答311] 直角を分ける直線と斜辺の交点

ヤドカリ

ヤドカリ



[答311] 直角を分ける直線と斜辺の交点


 図のように、AB=9,BC=2√111,∠A=90゚ の直角三角形ABCがあって、

 ∠BAD=30゚ になるように、斜辺上に点Dをとるとき、BD:DC=?


[解答1] 気まじめに長さを求めると

 まず、AC2=BC2-AB2=444-81=363、 AC=11√3 です。

 AD=x として、△ABD+△ADC=△ABC だから、

 (1/2)・9x・sin30゚+(1/2)・(11√3)x・sin60゚=(1/2)・9・(11√3) 、x=(33√3)/7 です。

 余弦定理より、

 BD2=92+x2-2・9x・cos30゚

  =(3/7)2{212+(7x/3)2-2・21(7x/3)・cos30゚}

  =(3/7)2{212+(11√3)2-2・21(11√3)・cos30゚}

  =(3/7)2(441+363-693)=(3/7)2・111

 BD=(3/7)√111=(3/7)(BC/2)=(3/14)BC となり、

 CD=(11/14)BC だから、BD:DC=3:11 です。


[解答2]

 まず、AC2=BC2-AB2=444-81=363、 AC=11√3 です。

 また、sinC=AB/BC,sinB=AC/BC です。

 △ABDで正弦定理より、BD/sin30゚=AD/sinB=AD・BC/AC、BD=AD・BC/(2AC)、

 △ADCで正弦定理より、DC/sin60゚=AD/sinC=AD・BC/AB、DC=(√3)AD・BC/(2AB)、

 BD:DC=1/AC:(√3)/AB=AB:AC(√3)=9:33=3:11 です。


[解答3]

 まず、AC2=BC2-AB2=444-81=363、 AC=11√3 です。

 BD:DC=△ABD:△ADC=(1/2)・AB・AD・sin30゚:(1/2)・AC・AD・sin60゚

  =AB:AC(√3)=9:33=3:11 です。


[解答4] 座標を使うと

 まず、AC2=BC2-AB2=444-81=363、 AC=11√3 です。

 座標平面上で、A(0,0),B(9,0),C(0,11√3) とすれば、

 BC:x/9+y/(11√3)=1 ,AD:y=x/√3 だから代入して、x/9+x/33=1 、x=99/14 、

 Dの x 座標は、99/14 です。

 BD:DC=(9-x):x=(126-14x):14x=27:99=3:11 です。


[解答5] 三角比も座標も使わずに

 まず、AC2=BC2-AB2=444-81=363、 AC=11√3 です。

 Dから AB,AC に垂線をおろし、その足を E,F とし、AE=3a とすれば AF=(√3)a です。

 △EBD∽△ABC だから、EB:AB=ED:AC=BD:BC になります。

 EB:AB=(9-3a):9=(3-a):3 ,ED:AC=(√3)a:11√3=a:11 だから、

 (3-a):3=a:11 、a=33/14 です。

 BD:BC=ED:AC=a:11=33/14:11=3:14 、BD:DC=3:11 です。


[解答6] tsuyoshik1942さんの解答より

 まず、AC2=BC2-AB2=444-81=363、 AC=11√3 です。

 AD⊥BP となるように AC上に点Pをとり、AD,BP の交点をQとすれば、

 AP=9√3 だから、AP/CA=9/11 、PQ=(√3)AQ=(√3)(√3)QB=3QB だから、QB/PQ=1/3 です。

 △PBCと直線ADでメネラウスの定理より、

 (BD/DC)(CA/AP)(PQ/QB)=1 、BD/DC=(AP/CA)(QB/PQ)=(9/11)(1/3)=3/11 です。


[解答7] uch*n*anさんの解答より

 まず、AC2=BC2-AB2=444-81=363、 AC=11√3 です。

 B から AC に平行な線を引き AD の D の方への延長との交点を E とします。

 ∠ABE=180゚-∠BAC=180゚-90゚=90゚ より BE=AB/√3=3√3 で,

 △DBE∽△DCA より BD:DC=BE:AC=(3√3):(11√3)=3:11 になります。

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Comments 20

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古い人  
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マリーゴールドこの所良く会いますね。

別に打ち合わせ無しで此れ誰合うなんて何でしょう。

ポチ。

さっちゃんこ  
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おはようございます。
マリーゴールド元気に頑張っていますね。
この花 名前も花も綺麗なのですが独特のあの匂い チョット嫌ですね。ポチ

ニリンソウ  
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おはようございます。
レモン色から今日は黄金色、明日はどんな色?
楽しいですね。
ポチ

アキチャン  
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おはようございます。
家で、おなじみの色です (o^-^o)
いっぱい咲いてますね♪ ポチ♪

tsuyoshik1942  
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いろいろな解法がありますね!ついでに自分の解法を記します。

AC上に<ABP=60度となるような点Pをとり、ADとBPの交点をQとする。
△ABQ,△PAQ,△PBAは30,60の直角三角形で AP=9√3、BQ:QP=1:3
△BCPと直線ADに「メネラウスの定理」を適用すると
BD:DC=(9/11)*(1/3)=3/11

新しい定石を覚え、それを実戦で打てると勝ち負けに関係なくうれしいです。「メネラウスの定理」覚えたてです。

黒翼  
No title

解き方は実にさまざまですね.

ほぼ思考停止で解ける解法1すら思いつかないなんて,僕もだんだん解けなくなってきました.

解答を熟読したいのですが,ちょっと時間が厳しくなってきたのでまたあとでしっかり読みなおします.

ゆうこ つれづれ日記  
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マリーゴールド、沿道の花壇に咲いています。
ヤドカリさんの街と同じ花が咲いているってうれしい~~
ポチッ☆

こっこちゃん  
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マリンゴールド

黄色で 元気印ですよね”
この色 ひまわりと ともに好きですネ。ポチ

uch*n*an  
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これは,いろいろな解法が可能な問題ですね。私も四つ+αで解きました。
+αというのは(解法4)が二つのバリエーションを含んでいるからです。
(解法4)の一部は[解答2]と実質同じでが,
この(解法4)と,少し違う感じの(解法1)をご参考までに書いておきます。
残りの,(解法2)は[解答3],(解法3)は[解答2]でした。
なお,生真面目とはいえ,[解答1]の精神は大切だと思います。

uch*n*an  
No title

(解法1) 相似
まず,∠BAC = 90°なので,三平方の定理より AC = √(BC^2 - AB^2) = 11√3 です。
B から AC に平行な線を引き AD の D の方への延長との交点を E とします。
∠ABE = 180°- ∠BAC = 180°- 90°= 90°より BE = AB/√3 = 3√3 で,
△DBE ∽ △DCA より BD:DC = BE:AC = (3√3):(11√3) = 3:11 になります。

uch*n*an  
No title

(解法4)
まず,∠BAC = 90°なので,三平方の定理より AC = √(BC^2 - AB^2) = 11√3 です。
B,C から AD 又はその延長に垂線を下ろしそれぞれの足を P,Q とします。
すると,BP = AB * 1/2 = 9/2,CQ = AC * √3/2 = 33/2 です。そこで,
△DBP ∽ △DCQ より BD:DC = BP:CQ = (9/2):(33/2) = 3:11
又は
BD:DC = △ABD:△ACD = (AD * BP * 1/2):(AD * CQ * 1/2) = (9/2):(33/2) = 3:11
になります。

ヤドカリ  
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古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私も近々アップしようと思っていた花の写真を貴殿がアップしていることがあります。
同じ時期に、同じような花が咲いているからでしょうね。
感覚も似ているのかも知れません。

ヤドカリ  
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さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
写真を撮るために近づきましたが、遠くからでもよく目立ちますので、
匂いは気になりませんでした。
この花の元気な姿に、いつも元気をもらいます。

ヤドカリ  
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ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
明日は別の花にする心算です。
暖色系の花は涼しさを感じませんが、元気のでる花ですね。

ヤドカリ  
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アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この花は、群がって咲いている姿が印象的です。
沢山咲いている写真を撮りたかったのですが、
何の花かがわからなくなるのでこんな写真にしました。

ヤドカリ  
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tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
メネラウスの定理を使わなくても解けますので、この解法は思いつきませんでした。
他の解答と発想が違うので、記事に追加させて頂きました。

ヤドカリ  
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黒翼さん、コメントを有難う御座います。
解き方が多いので迷いそうな問題です。
どのように解くのが楽か、いろいろ並べてみました。

ヤドカリ  
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ゆうこさん、コメントとポチを有難う御座います。
北海道でもこの花が咲いているのですね。
私にとって珍しい花がいっぱいの北海道で、
同じ花が咲いているって、私の方こそうれしいです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
やはり夏に目立つ花ですね。
ヒマワリ、カンナ、そして、マリーゴールドですか。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
解法が多いので、適当に載せたのですが、貴殿の相似の解法をよく見ると、簡潔ですので、
急遽、本文に加えさせて頂きました。
このような問題を作ると解答の時に苦労します。