FC2ブログ

Welcome to my blog

[答313] 極限値をもつときの極限

ヤドカリ

ヤドカリ



[答313] 極限値をもつときの極限


 [x]は x以下の最大の整数を表すものとします。

 lim [x3-11x2+39x-31] が極限値をもつときの、自然数nの値は?
 x→n

 また、その極限値は?


[解答]

 f(x)=x3-11x2+39x-31 とすれば f(x)は連続で f(n)は整数になります。

 また、f(x) はどんな短い区間でも定数となることはありません。

 δをある正の数として、

 f(x) が 区間 n-δ<x<n で単調増加であれば、lim [f(x)] =f(n)-1,
                                          x→n-0
 f(x) が 区間 n-δ<x<n で単調減少であれば、lim [f(x)] =f(n),
                                          x→n-0
 f(x) が 区間 n<x<n+δ で単調増加であれば、lim [f(x)] =f(n),
                                          x→n+0
 f(x) が 区間 n<x<n+δ で単調減少であれば、lim [f(x)] =f(n)-1
                                          x→n+0
 従って、f(n) が極値でないときは、左極限と右極限が異なります。

 f(n) が極大値のとき lim [f(x)] =f(n)-1 ,極小値のとき lim [f(x)] =f(n) です。
                  x→n                           x→n
 f'(x)=3x2-22x2+39=(x-3)(3x-13) だから、

 極値をとる自然数nは、n=3 で、f(3)は極大値です。

 lim [f(x)] =f(3)-1=13 です。
 x→3

[参考]

 lim f(x) = L の厳密な定義は以下の記述で表されます。
 x→c
 「∀ε>0 ∃δ>0 〔 0<|x-c|<δ ⇒ |f(x)-L|<ε 〕」

 分かりやすく書けば、

 どんな小さな正の数εを指定されても、〔   〕が成り立つような正の数δが存在する

 という意味です。

 このとき、この極限と関数 f(x) の x=c における値は無関係で、

 f(c)≠L であることもあれば f が c において定義されている必要もありません。

.

スポンサーサイト



Comments 18

There are no comments yet.
ニリンソウ  
No title

おはようございます!
八月もあと少し九月の足音が聞こえてきました。
松葉牡丹もまだ頑張っていますね~とても優しい色ですね。 ポチ

ひとりしずか  
No title

生き生きと優しく咲く松葉牡丹と
感情の無い数字が並ぶ・・・
コントラスト・ギャップが面白い ポチッと☆

古い人  
No title

マツバボタンまだまだ健在ですね。

此の暑さで生き生きしてますよ。

何とも言えぬ優しい色ですねポチ。

さっちゃんこ  
No title

おはようございます。
これで私の知っている松葉牡丹の三色揃い歩みですね。
真夏の庭には欠かせない花です
ポチ

アキチャン  
No title

おはようございます。
この色合いも可愛いですネ (o^-^o)
何か3人でお話しているように見えます(笑)ポチ♪

uch*n*an  
No title

この問題は,[解答]と全く同じように考え,結局は正解できたものの,
最初,極限の存在の定義を,
「∀ε>0 ∃δ>0 〔 0<|x-c|<δ ⇒ |f(x)-L|<ε 〕」
ではなく
「∀ε>0 ∃δ>0 〔 |x-c|<δ ⇒ |f(x)-L|<ε 〕」
と勘違いしてしまったため,このような n は存在しないのではないか,と首を傾げていました。
後者の定義は,連続の定義ですね。
個人的には,非常にいい復習になった問題でした。

まだ暑く日中にはセミが鳴いていますが,朝,夕の幾分涼しいときにはコオロギも鳴いています。
秋の兆しが感じられてきました。

スモークマン  
No title

>uch*n*anさんへ ^^
解説ありがとうございました♪
連続と極限の定義って異なるものだったのですねぇ!!
0< がつかなければ...1=0.999...と矛盾しませんものね ^^v
Orz~
たしかに...8月もあと二日になりにけり...^^;...
野田さんにすがるしかない事態になりましたねぇ...
国民の希望する前原さんでなく選ばれたわけですが...その政治力学が、真っ当であることを信じるしかありません...^^;...

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチうを有難う御座います。
8月も本当にあと少しですね。
この花の季節もあと少しです。それはともあれ癒される色です。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチうを有難う御座います。
数学の問題や解答だけでは殺風景ですので、花の写真を添えています。
お好きな方をご覧ください。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチうを有難う御座います。
薄い色が混ざっていると優しく感じます。
単色だと個性を主張しているようにも見えますね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチうを有難う御座います。
ご存知のマツバボタンの色が揃いましたか。
もうマツバボタンの写真がありませんので、明日は別の花にします。
何にしようかナ!?

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチうを有難う御座います。
成程です。
マツバボタンから連想されたのは貴女と2人の娘さんですか?

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
この問題は、n=3 で 極限が 14 と誤解しやすい問題でした。
定数項を -32 にすればどうだったでしょうか?

ところで、朝夕は涼しくなってきました。
夏の疲れが出る頃ですね。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
何か勘違いをされているようでしたが、
1=0.999...... というのは、
0.9,0.99,0.999,0.9999,…… の極限が 1 ということです。
[0.9],[0.99],[0.999],[0.9999],…… の極限は 0 です。

政治には当てはまりませんが、スポーツの世界では日本のチームに外国人監督がよくあります。
仰る通り、野田さんに期待するしかないですね。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
まさに...
>1=0.999...... というのは、
>0.9,0.99,0.999,0.9999,…… の極限が 1 ということ...

であるなら...上の数列を
k1=0.9
k2=0.99
k3=0.999
...
k∞=0.999...=1
なら...
lim (n→∞) [kn]=[k∞]=[1]=1
だと思ったわけです...^^;...?

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
lim(n→∞)[kn]
の意味は、ガウス記号の計算が先で、lim(n→∞)は後です。
k∞ を求めると、順序が逆です。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
我が家でも咲いてる松葉ボタンですが、こんな暑さにも負けず小さな花がいじらしいほどかわゆいです^^
この色、すてきです^^

今年は、節電の中で体力の極限を試されるような暑さでしたね。やっと涼しくなりそうですね。。
ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
マツバボタンのこの色、いっちゃんの名前アイコンのような優しい色ですね。