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[答314] 三角方程式の正の最小の角

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答314] 三角方程式の正の最小の角


 sin3θ+cos2θ=sinθ+1/2 を満たす正の最小の角は?


[解答1]

 cos2θ=1-2sin2θ ,sin3θ=3sinθ-4sin3 だから、

 sinθ=1 とすると、cos2θ=-1 ,sin3θ=-1 で成り立ちません。

 従って、sinθ-1≠0 です。

 sin3θ+cos2θ=sinθ+1/2 の両辺に 2(sinθ-1)≠0 をかけて、

 2sin3θsinθ+2cos2θsinθ-2sin3θ-2cos2θ=2sin2θ+sinθ-2sinθ-1 、

 -cos4θ+cos2θ+sin3θ-sinθ-2sin3θ-2cos2θ=-cos2θ-sinθ 、

 -cos4θ-sin3θ=0 、-cos4θ+cos(3θ+π/2)=0 、cos4θ=cos(3θ+π/2) 。

 ( cos4θ=cos(3θ+π/2) には sinθ=1 となるθが含まれることになります )

 nを整数として、4θ=3θ+π/2+2nπ or 4θ=-3θ-π/2+2nπ 、

 θ=π/2+2nπ or θ={(4n-1)/14}π になります。

 θ=π/2+2nπ のとき、sinθ=1 で、適しません。

 θ={(4n-1)/14}π のとき、nが 7の倍数+2 で表されるときは sinθ=1 で適しません。

  正の最小の角は n=1 のときで、θ=(3/14)π です。


[解答2] uch*n*anさんの解答より

 まず,明らかに,k を整数として θ=(2k-1)π/2 は解になりません。

 そこで,θ≠(2k-1)π/2 として

 sin3θ+cos2θ=sinθ+1/2 を解きます。

 両辺に 2cosθ≠0 を掛けると,

 2sin3θcosθ+2cos2θcosθ=2sinθcosθ+cosθ

 sin4θ+sin2θ+cos3θ+cosθ=sin2θ+cosθ

 sin4θ+cos3θ=0

 sin4θ+sin(π/2-3θ)=0

 2sin(π/4+θ/2)cos(7θ/2-π/4)=0

 そこで,n を整数として,

 π/4+θ/2=nπ 又は 7θ/2-π/4=(2n-1)π/2

 θ=(4n-1)π/2 又は (4n-1)π/14

 θ≠(2k-1)π/2 だったので,

 結局,θ=(4n-1)π/14 のうち,n が 7 で割って 2 余る以外の数の場合が解になります。

 今は,正の最小の角度を求めるので,n=1 として,3π/14 になります。


[解答3] 式を逆にたどれば、作問のプロセスになります

 -sin3θ-cos2θ+sinθ+1/2=0 、

 cos(3π/2-3θ)+cos(π-2θ)+cos(π/2-θ)+1/2=0 、

 π/2-θ=φ とすれば、2cos3φ+2cos2φ+2cosφ+1=0 、

 z=cosφ+i・sinφ とすると zk=cos(kφ)+i・sin(kφ) だから、

 z3+z-3+z2+z-2+z+z-1+1=0 、

 z6+z5+z4+z3+z2+z+1=0 、

 z≠1 だから、(z7-1)/(z-1)=0 、

 よって、n を7の倍数でない自然数として、z=cos(2nπ/7)+i・sin(2nπ/7) と表されます。

 φ=2nπ/7 になり、θ=π/2-φ=π/2-2nπ/7=(7-4n)π/14 になります。 

 この問題では,正の最小の角度を求めるので,n=1 として,3π/14 になります。

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Comments 20

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ヤドカリ  
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さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ピンクの花は優しい感じがします。
沢山咲いていて見事でしたょ。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
植物園、何度行っても癒されますが、夏の日中はかなり暑く、足が遠のきました。
ところで、
ヤフーでプログラムのバグを改善したようで、近頃、私はWポチができません。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ひとつの花にスポットをあてても良かったのですが、この花の団体が気に入りました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
ポイントは、sinθ-1 や cosθ を両辺にかけることですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
式を簡単にするためにはこの方法しかないと思います。
解でないものをわざわざ加えることに抵抗があるかも知れませんが。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
長居公園は昔競馬場があった所だそうで広いです。
よくぞ植物園をつくってくれたものです。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
θにいろんな数を入れて、f(θ)=sin3θ+cos2θ-sinθ-1/2 を使って計算します。
エクセルでも使えばできます。
θ=0.672 ,2.468 ,3.366 ,4.264 のときにほとんど 0 になります。
差をとって考えれば、0.672 ,2.468 の間に 1.570 を補充すればだいたい等差数列です。
1.570≒π/2 だから、これも解になるように、sinθ-1 を掛ければ単純な式になります。
思いつかない時の考え方ですが、如何でしょうか?

いっちゃん  
No title

こんにちは。。
いつもよく通る道に赤、ピンク、紫と咲き誇っていました。
「暑い日も文句も言わず癒してくれていたのに
名前も知らないでごめんね」と教えて頂いたトレニアに謝ってきましたぁ~~
ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
名前を知らなくても美しいのですが、名前が分かると親しみがわきますね。
暑い日にしっかり咲いていました。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
考え方のご指南ありがとうございましたぁ Orz~♪
なるほど...^^;...って...
それさえ思いつけそうにないわたしは...かなりみなさんの後塵を拝してる...^^;;;...v

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座いました。

uch*n*an  
No title

簡単とはいえませんが,ちょっと面白い解法を思い付きました。

uch*n*an  
No title

cos2θ = 1 - 2(sinθ)^2 ,sin3θ = 3sinθ-4(sinθ)^3,
sin3θ + cos2θ = sinθ + 1/2,8(sinθ)^3 + 4(sinθ)^2 - 4(sinθ) - 1 = 0
x = 2sinθ として,
x^3 + x^2 - 2x - 1 = 0
x = 2sinθ = 2cos(π/2 - θ) より,φ = π/2 - θ,z = cosφ + i * sinφ とすると,
z~ を z の複素共役として,zz~ = 1,z~ = 1/z,x = 2sinθ = 2cosφ = z + z~ = z + 1/z
(z + 1/z)^3 + (z + 1/z)^2 - 2(z + 1/z) - 1 = 0
(z^3 + 3(z + 1/z) + 1/z^3) + (z^2 + 2 + 1/z^2) - 2(z + 1/z) - 1 = 0
z^3 + z^2 + z + 1 + 1/z + 1/z^2 + 1/z^3 = 0
z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0

uch*n*an  
No title

これは z - 1 を掛けると,
z^7 - 1 = 0,z^7 = 1
となるので,k を整数として,z = cos(2πk/7) + i * sin(2πk/7) と書けます。
ただし,元の方程式は z ≠ 1 なので,k は 7 の倍数ではない場合,が解になります。
そこで,φ = 2πk/7 となり,θ = π/2 - φ = π/2 - 2πk/7 = (7 - 4k)π/14
この問題では,正の最小の角度を求めるので,k = 1 として,3π/14 になります。
なお,k = 2 - n とおけば,[解答]と同じになります。

uch*n*an  
No title

この解法が面白いと思うのは,
z^7 = 1 の解が複素平面上で実数 1 を頂点とした正7角形の頂点になっているので,
元の三角方程式の解は,θ = π/2 - φ によって,
この正7角形を実軸に対称に移動し反時計回りに 90°回転したものに対応しており,
解の状況がイメージしやすくなったことです。
例えば,[解答]で,n が 7 で割って 2 余る数以外が解になることが,
個人的には何かピンと来なかったのですが
これは,k は 7 の倍数ではない,z ≠ 1 に対応しており,
90°回転後では虚軸上の i が除かれることになります。
また,やどかりさんが指摘している等差数列の話も,正7角形の頂点なので明らかです。
もっとも,単に三角方程式を解く,という観点からは,ちょっと変わった解法ですが。

スモークマン  
No title

>uch*n*anさんへ ^^
なる!!
これ自然な気がします♪
こんな風な感じになればいいのにとは頭をかすめていたのですが...
なにせ...計算力も基礎力も発想力(応用力)も及びませんもので...^^;;;
...Orz~

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、更なる解答を有難う御座います。
私の作問の時に使ったのは、この解答のように 1の原始7乗根です。
せっかくですので、[解答3]を加えておきました。

作問のときは実際にはかなり遠回りをすることもよくあり、
そのプロセスを明かすことはあまりできません。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、お分かり頂けたでしょうか。
作問のプロセスを uch*n*anさんのコメントのおかげで紹介することにしました。
でも、[解答3]は思いつかないですよね。

uch*n*an  
No title

なるほど,この解法は作問の過程と直結していたんですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
2π/7 を 3π/14 にするために、π/2 から引いて、sin,cos を変えました。