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[答316] 垂直な接線

ヤドカリ

ヤドカリ



[答316] 垂直な接線


 原点をOとする xy平面上で、直線 x+4y=5 に垂直で、楕円 x2+9y2=9 に接する直線と、

 直線 x+4y=5 の交点をPとするとき、OP=?


[解答1]

 垂直な接線の傾きは 4 だから、P(5-4a,a)とすれば、

 接線は y-a=4(x-5+4a)、y=4x+17a-20 になります。

 簡単のために、17a-20=b とすれば、接線は y=4x+b です。

 x2+9y2=9 に代入して、x2+9(4x+b)2=9 、145x2+72bx+9(b2-1)=0 、

 判別式 D/4=(36b)2-145・9(b2-1)=0 より、b2=145 です。

 OP2=(5-4a)2+a2=(17a-40)a+25=(b-20)(b+20)/17+25

  =(b2-400)/17+25=(145-400)/17+25=10 、OP=√10 になります。


[解答2] 一般的に

 楕円を Ax2+By2=AB ,直線を ax+by=c とします。

 接点を(p,q)とすれば、Ap2+Bq2=AB で、接線は Apx+Bqy=AB です。

 もとの直線と接線は垂直だから、Aap+Bbq=0 で、交点Pを(x,y)とします。

 連立方程式を解いて、D=Abp-Baq とすれば、

  x=(ABb-Bcq)/D,y=(Acp-ABa)/D になります。

 OP2=x2+y2=(ABb-Bcq)2/D2+(Acp-ABa)2/D2

  =(A2B2b2-AB2bcq+B2c2q2+A2c2p2-A2Bacp+A2B2a2)/D2

  ={A2B2(a2+b2)-ABc(Aap+Bbq)+c2(A2p2+B2q2)}/D2

  =A2B2(a2+b2)/D2+c2(A2p2+B2q2)/D2

 ここで、

 A2B2(a2+b2)=AB(Ap2+Bq2)(a2+b2)

  =A2Ba2p2+A2Bb2p2+AB2a2q2+AB2b2q2=B3b2q2+A2Bb2p2+AB2a2q2+A3a2p2

  =Bb2(B2q2+A2p2)+Aa2(B2q2+A2p2)=(A2p2+B2q2)(Aa2+Bb2)

 D2=(Abp-Baq)2+(Aap+Bbq)2=A2b2p2+B2a2q2+A2a2p2+B2b2q2=(A2p2+B2q2)(a2+b2)

 従って、

 OP2=(Aa2+Bb2)/(a2+b2)+c2/(a2+b2)=(Aa2+Bb2+c2)/(a2+b2) です。

  (接点は2個考えられますが、どちらでも OP の長さが等しいことが分かりました)

 本問では、A=1,B=9,a=1,b=4,c=5 だから、

 OP2=(1・12+9・42+52)/(12+42)=10 です。


[参考] OPの長さがどちらでも同じになる理由

 楕円 x2/a2+y2/b2=1 の準円 x2+y2=a2+b2 上の点Qから

 この楕円に接線を引けば、2本の接線が垂直になるのは有名な事実です。

 上の図で、△OQQ' が二等辺三角形、四角形PP'Q'Q が長方形であることより、

 △OPQ≡△OP'Q' になるから、 OP=OP' です。

 本問の場合、(9/5,4/5)における楕円 x2+9y2=9 の接線が

 9x/5+9・4y/5=9、x+4y=5 だから、与えられた直線が接線そのもので、

 OP は準円 x2+y2=10 の半径になります。

 準円については https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-949.html に説明があります。

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Comments 20

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uch*n*an  
No title

私は,a,b を正の実数,m を 0 でない実数,x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1,x + my = n として,
四つの方法で解きました。
計算の仕方の違いはともかく。(解法1)が[解答1],(解法2)が[解答2]でした。
ただ,気のせいか,(解法2)の方が[解答2]よりも計算は楽だった気がします。
(解法3),(解法4)はご参考までに書いておきましょう。
[参考]の
>楕円 x^2/a^2+y^2/b^2=1 の準円 x^2+y^2=a^2+b^2 上の点Qから
>この楕円に接線を引けば、2本の接線が垂直になるのは有名な事実です。
は,「準円」という言葉からして全く知りませんでした。今確認しましたが,確かにそうなりました。
この事実を知っていれば,明らかな問題だったんですね。

uch*n*an  
No title

(解法3)
a,b を正の実数,m を 0 でない実数,x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1,x + my = n として考えます。
直交する直線は y = mx に平行で,楕円と接するのは y = mx から一番遠いときです。
この距離を d とし,楕円上の点を (a * cosθ, b * sinθ) とおくと,
d = |m * a * cosθ + b * sinθ|/√(m^2 + 1)
= √((ma)^2 + b^2)/√(m^2 + 1) * |sin(θ+α)| <= √((ma)^2 + b^2)/√(m^2 + 1) = dmax
ここで,等号は,sin(θ+α) = ±1 となる場合で,原点に関し反対の位置に一つずつあります。
そこで,x + my = n と y = mx の交点を Q とすると,求める P は Q の両側に一つずつあって,
いずれもが PQ = dmax = √((ma)^2 + b^2)/√(m^2 + 1) になります。これより,

uch*n*an  
No title

OP^2 = OQ^2 + PQ^2
= (|0 + m * 0 - n|/√(m^2 + 1))^2 + (√((ma)^2 + b^2)/√(m^2 + 1))^2
= (n^2 + (ma)^2 + b^2)/(m^2 + 1)
今は,a = 3,b = 1,m = 4,n = 5 なので,
OP^2 = (5^2 + (4 * 3)^2 + 1^2)/(4^2 + 1) = 170/17 = 10,OP = √10
になります。

uch*n*an  
No title

(解法4)
(解法3)と同じ設定で,まず,x^2 + y^2 = b^2 で考えれば,求める P は,明らかに,
辺の長さが b と |n|/√(m^2 + 1) の長方形の x + my = n 上の Q 以外の頂点,と分かります。
これを楕円にするには円の x 軸方向を a/b 倍すればいいですが,
このとき,接点と接点から y = mx に下ろした垂線の足の
(x 座標の差の絶対値):(y 座標の差の絶対値) が m:1 = mb:b から ma:b に変わり,
接線はこれに伴って平行移動されるので,PQ は,
b = √((mb)^2 + b^2)/√(m^2 + 1) から √((ma)^2 + b^2)/√(m^2 + 1) に変わり,
OQ = |n|/√(m^2 + 1) は不変です。そこで,
OP^2 = OQ^2 + PQ^2 = (n^2 + (ma)^2 + b^2)/(m^2 + 1) がいえます。
後は,(解法3)と同じです。
この考え方は,間違ってはいないだろうと思いますが,かなり直感的で論理的にはあいまいかも。

uch*n*an  
No title

なお,今週は仕事が立て込んでいるので,場合によっては参加が遅くなるかもしれません。
特に,木曜日は危なそう...

ニリンソウ  
No title

なんだろ!何の花?
ツルニンジンでもないよね~園芸物みたいですね。
はてさて答えは? ポチ

tsuyoshik1942  
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準円なる言葉、意味合い、当然ながら初物です。
解送信後の検討で、基準となる直線が楕円と接しているなら、すなわちこの問題における[x+4y=5」を振っても答が同じになることに気づきました。解開示を楽しみにしていた問題の一つです。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
この問題はすったもんだ島倉千恵子でした...^^;...
けっきょく...円で考え、再び楕円に変換という手順で...Orz...

x^2+(3y)^2=3^2 という円で考えるとき...y軸方向に傾きがそれぞれ3倍になるので...-1→-3^2=-9として考え...そうすると...円なので...求める点PはOから対称で...楕円に戻すときも...y軸方向だけ(1/3)に変換するわけだから...距離はやはり変わらないはずですよね ^^
わたしも...「準円」というタームはお初です♡

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私も色が気に入って撮りました。
オレンジ色ならよく見るのですが、花の名前はノウゼンカズラです。

ヤドカリ  
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こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この花はノウゼンカズラです。ピンクノウゼンカズラともいうようです。
近頃、たまに見かけます。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
花の名前をよくご存じの貴殿が、ご存知ないのが驚きです。
ノウゼンカズラです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
花を見ておとぎの国を思い描かれるのはいいですね。優しい色合いです。

ヤドカリ  
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uch*n*anさん、コメントと詳しい解答を有難う御座います。
2本の接線が直交するときの交点の軌跡は、放物線の場合は準線になりますので、
軌跡が円になる楕円の場合は準円と言うのでしょうか?
言われはよく知りませんが、そのように解釈しています。

> (解法2)の方が[解答2]よりも計算は楽だった気がします。
私は座標軸に平行な場合も含めて直線を ax+by=c としましたので、計算は面倒です。

>今週は仕事が立て込んでいるので
問題発表と解答の間に土日をはさみますのでごゆっくり。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この花はノウゼンカズラです。ピンクのノウゼンカズラもあるのだなぁと思って撮りました。
調べるとピンクノウゼンカズラともいうようです。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
>準円なる言葉、意味合い、当然ながら初物です。
楕円 x^2/a^2+y^2/b^2=1 の準円が x^2+y^2=a^2+b^2 になるのは
証明は計算がやや面倒なので、いい練習問題と思います。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
縦や横の拡大縮小はよく使う方法ですが、
角度や長さが変化しますので「取り扱い注意」です。
特に、斜めの線分の長さには要注意です。

アキチャン  
No title

このお花も何でしょう?
(o^-^o)

いっちゃん  
No title

ええっ?この花ピンクノウゼンカズラっていうのですか?何回見ても私が見てきた花との違いに驚いています。
いろんなのがあるのですねぇ~ポチ

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとポチを有難う御座います。
ピンクノウゼンカズラです。近頃、たまに見るようになりました。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
オレンジ色のノウゼンカズラもいいのですが、ピンクも素敵です。
一目見て、カメラに収めたくなりました。