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楕円・双曲線と準円

ヤドカリ

ヤドカリ



楕円・双曲線と準円

楕円or双曲線 x2/a2±y2/b2=1 の2本の接線が直交するとき、その交点の軌跡 を求めます。


準備として、

 直線 sx+ty=u が、円 x2+y2=1 と接する条件は、

  直線と原点の距離が 1 だから、ヘッセの公式により、

  |u|/√(s2+t2)=1 、u2=s2+t2 です。

 直線 sx+ty=u が、直角双曲線 x2-y2=1 と接する条件は、

  s≠0 で、(sx)2-(sy)2=s2 に sx=u-ty を代入して、

  (u-ty)2-(sy)2=s2 、(t2-s2)y2-2tuy+(u2-s2)=0 、

  t2≠s2 (この条件は接線は漸近線と平行でないことを表します) で、

  判別式=0 だから、t2u2-(t2-s2)(u2-s2)=0 、

  t2s2+s2u2-s4=0 、u2=s2-t2 です。 


交点を(p,q)とし、垂直な接線を c(x-p)+d(y-q)=0 ,d(x-p)-c(y-q)=0 とします。

この2直線が、楕円or双曲線 x2/a2±y2/b2=1 に接する場合、

これを、x 軸方向に 1/a 倍,y 軸方向に 1/b 倍すれば、x を ax ,y を by に書き換えることによって、

c(ax-p)+d(by-q)=0 ,d(ax-p)-c(by-q)=0 すなわち acx+bdy=cp+dq ,adx-bcy=dp-cq が、

円or直角双曲線 x2±y2=1 に接することになります。

上の条件より、(cp+dq)2=(ac)2±(bd)2 ,(dp-cq)2=(ad)2±(bc)2

辺々加えて、(c2+d2)(p2+q2)=(c2+d2)(a2±b2) 、

よって、p2+q2=a2±b2 、 軌跡は 円 x2+y2=a2±b2 です。


この円を、 楕円or双曲線 x2/a2±y2/b2=1 の準円 といいます。

双曲線の場合は、a2>b2 のときだけ、準円が存在します。


放物線 y2=4kx の2本の接線が直交するとき、その交点の軌跡 を求めると、

 放物線 y2=4kx と直線 sx+ty=u が 接する条件は、

 s≠0 で、sy2=4ksx に sx=u-ty を代入して、

 sy2=4k(u-ty) 、sy2+4kty-4ku=0 で、判別式=0 だから、

 (2kt)2+4ksu=0 、kt2+su=0 です。

(p,q)を通る垂直な直線 c(x-p)+d(y-q)=0 ,d(x-p)-c(y-q)=0 、

すなわち cx+dy=cp+dq ,dx-cy=dp-cq の両方が放物線 y2=4kx に接する条件は、

kd2+c(cp+dq)=0 ,kc2+d(dp-cq)=0 、

辺々加えて、(c2+d2)(k+p)=0 、p=-k 、軌跡は x=-k になります。

従って、 放物線の2本の接線が直交するとき、その交点の軌跡は準線 です。


[追記] crazy_tomboさんのコメント(疑問)に対して

 楕円 x2/a2+y2/b2=1 の準円 x2+y2=a2+b2 上の点から

 この楕円に2本の接線を引くとき、その2本の接線は垂直になりますが、

 この2つの接点を通る直線(極線)の通過する領域を求めてみます。

 準円上の点を(p,q)とすれば、p2+q2=a2+b2 が成り立ち、

 2つの接点を通る直線は、px/a2+qy/b2=1 になります。

 コーシー・シュワルツの不等式により、

 (p2+q2)(x2/a4+y2/b4)≧(px/a2+qy/b2)2 、 (a2+b2)(x2/a4+y2/b4)≧1 になります。

 その直線群の包絡線は 楕円 (a2+b2)(x2/a4+y2/b4)=1 です。

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Comments 20

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ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
解と係数の関係を使っても出来ますが、座標軸と平行な場合を別にする必要がありますので、
この方法で説明を書きました。
準円は不思議な美しいものですね。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
円錐の切り口でできる曲線はすべて円と縁があるんですねぇ☆
ちなみに...楕円上のその2直線の接点を結んだ直線でできる包絡線もまた楕円になるらしいことを調べてて遭遇しました♡
http://w1.avis.ne.jp/~nonoishi/entexam/nyuusi11-1.pdf
...が...簡単に言えますでしょうかしら?...Orz...

さっちゃんこ  
No title

うわ~っ! 今日は私の大好きな「サギ草」ですね。
純白だ清楚なこの花素敵ですよね。
ほんとうに まるでサギが飛んでいるみたい!♪ ポチ

こっこちゃん  
No title

おはようございます

サギソウ 何回みせて貰っても さわやかな
素敵な 花ですね

現実に見たこと ないです~~ ポチ

uch*n*an  
No title

crazy_tomboさんへ
元の楕円が円の場合には包絡線が円になるのは明らかだから,
これを押しつぶしたような形で,対称性から,楕円になるのは予想できますが,
その方程式を求めるには,ゴリゴリ計算するしかなさそうな気もしますね。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
私にとっては面倒な貴殿の思いつきです。
貴殿の「つぶやき」で済まそうと思いましたが、記事に理由を加えました。
ご覧下さい。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
不思議な造形ですね。神様は時として粋なことをなさいます。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
自生している姿は私も見たことがありません。見てみたいです。
お互い、念願が実現すればいいですね。
この花は、他の色はないと思いますが、白でないといけませんね。

uch*n*an  
No title

少し時間が取れたので,チョコチョコっと計算してみました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
記事に式を追加しておきました。

uch*n*an  
No title

元の楕円を x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1,準円上の点を P(p,q),p^2 + q^2 = a^2 + b^2,
P(p,q) から楕円に引いた接線の接点を T1(x1,y1),T2(x2,y2) とすると,
接線は x1x/a^2 + y1y/b^2 = 1,x2x/a^2 + y2y/b^2 = 1 なので,
P(p,q) を通ることより px1/a^2 + qy1/b^2 = 1,px2/a^2 + qy2/b^2 = 1 となって,
二つの接点を通る直線は px/a^2 + qy/b^2 = 1 になります。
これを使うと,y ≠ 0 のとき,
p^2 + q^2 = a^2 + b^2
p^2y^2/b^4 + q^2y^2/b^4 = (a^2 + b^2)y^2/b^4
p^2y^2/b^4 + (1 - px/a^2)^2 = (a^2 + b^2)y^2/b^4
(x^2/a^4 + y^2/b^4) * p^2 - 2x/a^2 * p + (1 - (a^2 + b^2)y^2/b^4) = 0

uch*n*an  
No title

p の二次方程式だと思うと,実数 p が存在する条件より,
判別式/4 = (x/a^2)^2 - (x^2/a^4 + y^2/b^4)(1 - (a^2 + b^2)y^2/b^4) >= 0
(x^2/a^4 + y^2/b^4)(a^2 + b^2)y^2/b^4 >= y^2/b^4
(x^2/a^4 + y^2/b^4)(a^2 + b^2) >= 1
x^2/a^4 + y^2/b^4 >= 1/(a^2 + b^2)
この式は,y = 0 でも成立します。(x = a^2/p なので。)
境界は x^2/a^4 + y^2/b^4 >= 1/(a^2 + b^2) なので,確かに楕円ですね。

uch*n*an  
No title

おっと,先を越されてしまいました (^^;
なるほど,コーシー・シュワルツですか。この方が簡単でしたね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、詳しい証明をありがとうございます。
記事に追加した私の考え方もほとんど同じでした。

スモークマン  
No title

>やどかりさん&Uch*n*anさんへ ^^
なるほどぉ~~~♡
納得です~わたしには思いつけないけど...^^;...
考えてくださってありがとうございました ~m(_ _)m~♪

ゆうこ つれづれ日記  
No title

サギ草が清楚で美しいです。
白いサギが飛びかっているようだわ~~
ポチッ☆
ヤドカリさん地方はまだまだ残暑が続くのでしょう。
お体に気を付けてください。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、再度のコメントを有難う御座います。
貴殿へのリコメを放置して散歩、散歩中に考えたら見た目に反して意外に簡単でした。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとポチを有難う御座います。
こちらは台風前後は涼しかったのですが、また残暑が戻ってきました。
この花のように爽やかに生きたいです。

ニリンソウ  
No title

サギ草真っ白で綺麗ですね!
一輪見ただけでも幸せな気分になれる花です。
まだ残暑も続くようです、無理をしませんように
ポチ

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
サギソウって本当に不思議な形をしています。
仰る通り、一輪でも幸せな気分にしてくれますね。