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[答320] 1~8のうちの4つの積の平均

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答320] 1~8のうちの4つの積の平均


 1,2,3,4,5,6,7,8 の数字のうち異なる4個を選ぶ方法は 84=70 通りあります。

 このとき、選んだ4個の数の積 70個について、その平均は?


[解答1]

 一般化して、1~nのうちの異なる4つの積の総和と平均を求めます。

 1~nのうちの特定の2数 a,b を除く異なる2つの積の総和を S とすれば、

  2S={(1+2+3+……+n)-(a+b)}2-{(12+22+32+……+n2)-(a2+b2)}

   =n2(n+1)2/4-n(n+1)(a+b)+(a+b)2-n(n+1)(2n+1)/6-(a2+b2)

   =n(n+1)(n-1)(3n+2)/12-n(n+1)(a+b)+2(a2+ab+b2)

  S=n(n+1)(n-1)(3n+2)/24-n(n+1)(a+b)/2+(a2+ab+b2)

  bS=n(n+1)(n-1)(3n+2)b/24-n(n+1)ab/2-n(n+1)b2/2+a2b+ab2+b3

 ここで、1~nのうちの特定の数 a を除く異なる3つの積の総和を T とします。

  bS を、b=1,2,3,……,n ,b≠a としたときの和が 3T になります。

  b=a のとき、bS=n(n+1)(n-1)(3n+2)a/24-n(n+1)a2+3a3 だから、

  3T=n2(n+1)2(n-1)(3n+2)/48-n2(n+1)2a/4-n2(n+1)2(2n+1)/12+n(n+1)a2/2+n(n+1)(2n+1)a/6
    +n2(n+1)2/4-n(n+1)(n-1)(3n+2)a/24+n(n+1)a2-3a3

  T=n2(n+1)2(n-1)(n-2)/48-n(n+1)(n-1)(3n+2)a/24+n(n+1)a2/2-a3

  aT=n2(n+1)2(n-1)(n-2)a/48-n(n+1)(n-1)(3n+2)a2/24+n(n+1)a3/2-a4

 ここで、1~nの異なる4つの積の総和を U とします。

  aT を、a=1,2,3,……,n としたときの和が 4U になります。

  4U=n3(n+1)3(n-1)(n-2)/96-n2(n+1)2(n-1)(3n+2)(2n+1)/144+n3(n+1)3/8
    -n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1)/30

  U=n(n+1)(n-1)(n-2)(n-3)(15n3+15n2-10n-8)/5760 になります。

 n個から異なる4個をとる方法は、n4=n(n-1)(n-2)(n-3)/24 だから、

  平均は、(n+1)(15n3+15n2-10n-8)/240 です。

 本題では n=8 のときで、平均は 3207/10 です。


[解答2] uch*n*anさんのコメントより

 第1種スターリング数というものがあり、

 s(n,k) は x(x+1)(x+2)(x+3)……(x+n-1) の xk の係数を表します。

 当然、s(n,0)=0 ,s(n,n)=1 になり、漸化式 s(n+1,k)=s(n,k-1)+n・s(n,k) が成り立ちます。

 実際に計算すると、

  s(2,1)=1

  s(3,1)=2 ,s(3,2)=3

  s(4,1)=6 ,s(4,2)=11 ,s(4,3)=6

  s(5,1)=24 ,s(5,2)=50 ,s(5,3)=35 ,s(5,4)=10

  s(6,1)=120 ,s(6,2)=274 ,s(6,3)=225 ,s(6,4)=85 ,s(6,5)=15

  s(7,1)=720 ,s(7,2)=1764 ,s(7,3)=1624 ,s(7,4)=735 ,s(7,5)=175 ,s(7,6)=21

  s(8,1)=5040 ,s(8,2)=13068 ,s(8,3)=13132 ,s(8,4)=6769 ,s(8,5)=1960 ,s(8,6)=322 ,
  s(8,7)=28

  s(9,1)=40320 ,s(9,2)=109584 ,s(9,3)=118124 ,s(9,4)=67284 ,s(9,5)=22449 ,s(9,6)=4536 ,
  s(9,7)=546 ,s(9,8)=36

  s(10,1)=362880 ,s(10,2)=1026576 ,s(10,3)=1172700 ,s(10,4)=723680 ,s(10,5)=269325 ,
  s(10,6)=63273 ,s(10,7)=9450 ,s(10,8)=870 ,s(10,9)=45

 本問では、x(x+1)(x+2)(x+3)……(x+8) の x5 の係数が総和だから、

 平均は、s(9,5)/70=22449/70=3207/10 です。

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Comments 20

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uch*n*an  
No title

なるほど。[解答]は,計算は楽とはいえませんが,理にかなっており,自然な発想ですね。
私は[解答]とは違う二つの方法で解きましたが,どちらも計算は楽ではありませんでした。
ここでは,やどかりさんの計算の検算も兼ねて,
ご参考までに,n 個の場合に拡張が容易な二つ目の解法を示しておきます。

uch*n*an  
No title

a,b,c,d を異なる四つの自然数とすると,
abcd は,(1 + 2 + 3 + … + n)^4 の中に,
()^4 = ()()()()のどこから来るかで 4! = 24 個ずつあります。
しかし,a ~ d のいずれかが等しい場合を除く必要があります。
a^2cd は 4!/2! = 12 個,a^2c^2 は 4!/2!2! = 6 個,a^3d は 4!3! = 4 個,a^4 は 4!/4! = 1 個
に注意すると,1 ~ n の異なる四つの積の総和 U は,

uch*n*an  
No title

24U
= (1 + 2 + 3 + … + n)^4
- 6 * (1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2) * (1 + 2 + 3 + … + n)^2 <--- a^2cd の削除 12 - 6 * 2 = 0
+ 3 * (1^2 + 2^2 + 3^2 + … + n^2)^2 <--- a^2c^2 の削除 6 - 6 * 2 + 3 * 2 = 0
+ 8 * (1^3 + 2^3 + 3^3 + … + n^3) * (1 + 2 + 3 + … + n) <--- a^3d の削除 4 - 6 * 2 + 8 = 0
- 6 * (1^4 + 2^4 + 3^4 + … + n^4) <--- a^4 の削除 1 - 6 + 3 + 8 - 6 = 0

uch*n*an  
No title

累乗和の公式より
= (n(n+1)/2)^4
- 6 * n(n+1)(2n+1)/6 * (n(n+1)/2)^2
+ 3 * (n(n+1)(2n+1)/6)^2
+ 8 * ((n(n+1)/2)^2) * (n(n+1)/2)
- 6 * n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
= n(n+1)/240
* (15n^3(n+1)^3 - 60n^2(n+1)^2(2n+1) + 20n(n+1)(2n+1)^2 + 240n^2(n+1)^2 - 48(2n+1)(3n^2+3n-1))
= n(n+1)/240 * (15n^3(n+1)^3 - 60n^2(n+1)^2(2n-3) + 20n(n+1)(2n+1)^2 - 48(2n+1)(3n^2+3n-1))
= n(n+1)/240 * (15n^2(n+1)^2(n^2-7n+12) + 4(2n+1)(10n^3-21n^2- 31n+12))
= n(n+1)/240 * (15n^2(n+1)^2(n-3)(n-4) + 4(2n+1)(n-3)(10n^2+9n-4))

uch*n*an  
No title

= n(n+1)(n-3)/240 * (15n^2(n+1)^2(n-4) + 4(2n+1)(10n^2+9n-4))
= n(n+1)(n-3)/240 * (15(n^4+2n^3+n^2)(n-4) + 4(2n+1)(10n^2+9n-4))
= n(n+1)(n-3)/240 * (15(n^5-2n^4-7n^3-4n^2) + 4(20n^3+28n^2+n-4))
= n(n+1)(n-3)/240 * (15n^5-30n^4-25n^3+52n^2+4n-16)
= n(n+1)(n-3)/240 * (n-1)(15n^4-15n^3-40n^2+12n+16)
= n(n+1)(n-3)/240 * (n-1)(n-2)(15n^3+15n^2-10n-8)
= (n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)(15n^3+15n^2-10n-8)/240

uch*n*an  
No title

平均 = U/nC4
= (n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)(15n^3+15n^2-10n-8)/240 * 1/24 * 24/n(n-1)(n-2)(n-3)
= (n+1)(15n^3+15n^2-10n-8)/240
確かに,やどかりさんの結果と一致します。
なお,最初の計算式は,他にも考えられそうで,もっと簡単なものもあるかも知れません。

ニリンソウ  
No title

今日は白ですね!
サルビアで白は珍しいのでは? ポチ

tsuyoshik1942  
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お2人ともすごい!
何度も挑戦したのですが、まったく歯がたちませんでした。
恥ずかしながらトレースする力も根気もありません。

スモークマン  
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グーテンターク ^^
昼から雨模様から完璧なしとしとぴっちゃん...
これは力技でしたぁ...^^;...想定外に ? 難しくって...
しかも、約分せぬままでしたのに...正解扱いしていただき恐縮です...♡...△扱いで十分でしたのに...^^...Orz...

uch*n*an  
No title

あ,今閃きました。
何のことはない,1 ~ 8 の異なる四つの数の積の和は第1種のスターリング数ではないですか!
n >= k >= 0
s(n+1,k) = s(n,k-1) + n * s(n,k)
s(n,0) = 0, s(n,n) = 1
の s(9,5) = 22449 です。そこで平均は,22449/70 = 3207/10 です。
私の最初の解法は,実質,この計算をしていました。
うーむ,なぜ,解答時に気付かなかったんだろう。残念無念。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
白は仰る通り、清涼感がありますね。
サルビアに種類が多いことを知りました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私は緑の中の純白が好きです。
仰る通り、紅白で並んでいてもいいですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
白のサルビアをご覧になったことが無いのですね。
私は、サルビアと意識せずに見ていました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
白のは日南の方でも、そのうち、植えられるようになるのかも知れませんし、
すでに植えられているのかも知れませんね。
貴女も出会えればいいですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、解答の詳しい別計算を有難う御座います。
第1種スターリング数については、私は、すっかり失念しておりました。
これを書かないとこの問題の意味がありませんね。
急遽、追加いたしました。
思い出させて頂き、有難う御座います。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
白も珍しいのですか。
花の文化園に沢山咲いていたので、知らずに見ておりました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
1~n での計算は確かに面倒でした。
おおまかに式を追ってくれれば十分です。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
貴殿のような計算をする気力はありませんでした。
中々面倒な問題でした。

いっちゃん  
No title

こんばんは。携帯からだから白い花がなんだか分かりませんでした。サルビアの花だったのですね(^o^)/ きれいです

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントを有難う御座います。
また、PCで写真をご覧下さいね。
いっちゃんの好きな白い花です。