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2つの角が整数比で、辺の長さも整数比の三角形

ヤドカリ

ヤドカリ


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2つの角が整数比で、辺の長さも整数比の三角形

 [319]で「角の比が 3:2」の三角形を扱いましたが、

 一般に、「2つの角が整数比で、辺の長さも整数比の三角形」にどんなものがあるかを検証します。
  
 2cosθ=x ,Sk(x)=sin(kθ)/sinθ とおけば、

 sin(k+1)θ+sin(k-1)θ=2sin(kθ)cosθ の両辺を sinθ で割って、

 Sk+1(x)+Sk-1(x)=x・Sk(x) になります。

 S1(x)=1 ,S2(x)=x ,Sk+1(x)=x・Sk(x)-Sk-1(x) より、 以下の式を得ます。

  S1(x)=1
  S2(x)=x
  S3(x)=x2-1
  S4(x)=x3-2x
  S5(x)=x4-3x2+1
  S6(x)=x5-4x3+3x
  S7(x)=x6-5x4+6x2-1
  S8(x)=x7-6x5+10x3-4x
  S9(x)=x8-7x6+15x4-10x2+1
  S10(x)=x9-8x7+21x5-20x3+5x
  S11(x)=x10-9x8+28x6-35x4+15x2-1
  S12(x)=x11-10x9+36x7-56x5+35x3-6x
  S13(x)=x12-11x10+45x8-84x6+70x4-21x2+1
  S14(x)=x13-12x11+55x9-120x7+126x5-56x3+7x
  S15(x)=x14-13x12+66x10-165x8+210x6-126x4+28x2-1
  S16(x)=x15-14x13+78x11-220x9+330x7-252x5+84x3-8x
  S17(x)=x16-15x14+91x12-286x10+495x8-462x6+210x4-36x2+1
  S18(x)=x17-16x15+105x13-364x11+715x9-792x7+462x5-120x3+9x
  S19(x)=x18-17x16+120x14-455x12+1001x10-1287x8+924x6-330x4+45x2-1
  S20(x)=x19-18x17+136x15-560x13+1365x11-2002x9+1716x7-792x5+165x3-10x

 △ABCにおいて、∠A=mθ,∠B=nθ とすれば、∠C=π-(m+n)θ だから、

 0<(m+n)θ<π より、0<θ<π/(m+n) 、2cos{π/(m+n)}<2cosθ<2cos0 、

 正弦定理より、BC:CA:AB=sin(mθ):sin(nθ):sin(m+n)θ だから、

 ∠A:∠B=m:n の三角形を作るには、

 2cos{π/(m+n)}<x<2  を満たすxを選んで  BC:CA:AB=Sm(x):Sn(x):Sm+n(x)

 ( 3辺を整数比にするには、xを有理数にします )

 とすればよいことになります。 簡単な例を挙げれば、

 ∠A:∠B=1:2 のとき、2cos(π/3)<x<2 だから、x=3/2 とすれば、

 BC:CA:AB=S1(3/2):S2(3/2):S3(3/2)=1:3/2:5/4=4:6:5

 があります。

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Comments 20

There are no comments yet.
ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ガガブタ(鏡蓋)という名前の花です。
本州以西のため池に生育する多年生の水草だそうです。

ひとりしずか  
No title

名前に似合わずかわいくて、レースみたいですね!
水草なんですね。ポチ☆

古い人  
No title

ガガブタの花もかなり少なく成りましたね。

コウホネなどもね段々数が少なくなっていますね。

もう稀少植物ですね。 ポチ。

uch*n*an  
No title

興味深い記事をありがとうございます。勉強になります。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ガガブタやアサザのように水面に咲く花もいいものです。
撮りにくい花ですが……。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この花も少なくなっているのですか?
花の文化園の入り口付近で撮りましたので、そんな意識はありませんでした。
大切にしたいですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
この関数を利用して、工夫すればいろいろな問題を作れそうですが、
m,nが大きな数になると、2cos{π/(m+n)}<x<2 の範囲が狭くなり、
xの分母をかなり大きくしなければなりません。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
富嶽百景のような景色に見えます♡
^
^ ^ ^
^ ^ ^ ^ ^ ^
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このMt.Fujiはやどかりさんが初登頂されたのですか ^^...?

スモークマン  
No title


ずれてる...^^;...Orz...

アキチャン  
No title

こんばんわ。
名前は知らなかったです・・・ガガブタとは面白い名前ですネ f(^_^;
ほんと、かわいいです♪ ポチ♪

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
チェビシェフの多項式同様、先人が考えているはずです。
上記は、角が整数比になる三角形を求める目的で私は考えました。
きっと他にも活用できるでしょう。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとポチを有難う御座います。
名前は面白いですが、白い清楚な花ですね。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは。
以前見た記憶があると思ったら「ガガブタ)だったんですね。
スッカリ名前忘れていました。((o(;△;)o))
一杯咲いたら雪が降って居るように見えるのかしらσ(゚・゚*)ポチ

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとポチを有難う御座います。
花に比べて大きな葉がありますので、一杯は咲かないのではないかと思います。
疎らでも雪に見えるかも知れません。

いっちゃん  
No title

こんいちは。これは何の花?と思ったら「ガガブタ(鏡蓋)」というのですか・・
すごく可愛いです。ガラスの器に入れてテーブルに飾ったらすてきでしょうね^^

我が家のホテイアオイは咲くのかな・・・・ポチ

ニリンソウ  
No title

ガガブタ、ちょっと名前からのイメージと似合わない
可愛い花ですね。
水深に調節した根を伸ばしているそうです。

ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
ガガブタもアサザもそうですが、水面に咲く花は可愛いですね。
ホテイアオイは夏の花です。時期的にどうでしょうか?

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
名前のイメージとは違いますが、白い小さな花は、仰る通り可愛いです。

いっちゃん  
No title

あ!やっぱり・・
私のほっぺみたいに膨らむだけ膨らんで咲かないのです。
これからは無理ですよね?
諦めましょ。-m-

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、再度のコメントを有難う御座います。
「ほっぺたが膨らんで」というのは、自虐ネタ?
それとも、スイーツをほおばっておられるのですか? (笑)