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[答321] 4人でジャンケン

ヤドカリ

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[答321] 4人でジャンケン


 4人でジャンケンをするとき、1人の勝者が決まるまでのジャンケンの回数の期待値は?

 4人ともグー・チョキ・パーいずれも 1/3 の確率で出すものとします。


[解答]

 n人でジャンケンをするときの1人の勝者が決まるまでのジャンケンの回数の期待値を En とします。

 2人でジャンケンをするとき、勝負がつく確率は 2/3 で、あいこの確率は 1/3 だから、

  E2=(2/3)・1+(1/3)(1+E2) 、(2/3)E2=1 、E2=3/2 です。

 3人でジャンケンをするとき、

 1人が勝つ確率は 1/3 、2人が残る確率は 1/3 、3人があいこの確率は 1/3 だから、

  E3=(1/3)・1+(1/3)(1+E2)+(1/3)(1+E3) 、(2/3)E3=3/2 、

  E3=9/4 です。

 4人でジャンケンをするとき、

 1人が勝つ確率は 4/27 、2人が残る確率は 6/27(=2/9) 、3人が残る確率は 4/27 、

 4人があいこの確率は 13/27 だから、

  E4=(4/27)・1+(6/27)(1+E2)+(4/27)(1+E3)+(13/27)(1+E4) 、

  (14/27)E4=45/27 、E4=45/14 です。


[参考]

 Σを k=1 ~ n-1 の和を表すものとします。

 E1=0,E2=3/2,E3=9/4,E4=45/14 ですが、

 n人でジャンケンをするとき、

 1≦k≦n-1 として、k人が残る確率は nk/3n-1

 Σnk=2n-2 だから、

 n人が残る確率は 1-(2n-2)/3n-1 になります。

 En=Σ(nk/3n-1)(1+Ek)+{1-(2n-2)/3n-1}(1+En)

  =Σ(nk/3n-1)+1-(2n-2)/3n-1+Σ(nk/3n-1)Ek+{1-(2n-2)/3n-1}En

  =1+Σ(nk/3n-1)Ek+{1-(2n-2)/3n-1}En

 よって、{(2n-2)/3n-1}En=1+Σ(nk/3n-1)Ek

  (2n-2)En=3n-1+Σnk・Ek

  En=(3n-1+Σnk・Ek)/(2n-2)

 このような漸化式で En が求められます。

☆ 以下、実際の計算を示します。

 2人 3/2回(1.5回),3人 9/4回(2.25回),4人 45/14回(約3.21回),5人 157/35回(約4.49回),

 6人 13497/2170回(約6.22回),7人 225161/26040回(約8.65回),8人 10007591/826770回(約12.10回),

 9人 200190574/11712575回(約17.09回),10人 8327737507/342007190回(約24.35回),

 11人 約34.98回,12人 約50.63回,13人 約73.74回,14人 約107.99回,15人 約158.87回,

 16人 約234.57回,17人 約347.39回,18人 約515.73回,19人 約767.14回,

 そして、20人のジャンケンでは、約1142.90回で1人の勝者が決まることになります。
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Comments 20

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古い人  
No title

ルリマツリですね。

此の花は我が家にも有りましたが半蔓性で。

姿勢が悪くて困りましたよでも花は綺麗ですね。

ポチ。

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
素晴らしくシンプルな♡解法♡に驚いていますが...
最初の式の意味が掴めないという体たらくです...^^;;;

> E2=(2/3)・1+(1/3)(1+E2)

まことにお手数ですが...ここの部分の詳説希望~~~m(_ _);m~~~

こっこちゃん  
No title

おはようございます。

4人の ジャンケン 面白そうですね

ブルーの ルリマツリ かわいい花ですね” ポチ

アキチャン  
No title

おはようございます。
家では買ったことがなく、ちょっと馴染みないお花になっていますが、淡いブルーがいいですネ (o^-^o)
ポチ♪

uch*n*an  
No title

なるほど,[解答]は自然な式の立て方及び計算ですね。
私は二つの方法で解きました。
(解法1)は期待値の定義に正直に従ったもので,ものすごい式になりますが,
実際の計算は,簡単とは行かないものの結構単純で,スンナリ求まりました。
しかし,期待値の計算は要するに平均値の計算と同じ,という意味を捉えると,
簡略化できることが多いので,(解法1)の式を変形して意味を解釈して(解法2)を得ました。
これは,実質,[解答]と同じで,同じ漸化式も得ましたが,解釈に少し不自然な点もありました。
なお,20 人でジャンケンをして 1 人決まるのに平均 1000 回以上かかるのは大変ですが,
4 人では平均 3 回そこそこ,大体 1 回で 1 人抜ける,というのは,結構少ない気もします。

uch*n*an  
No title

crazy_tomboさんへ
> E2=(2/3)・1+(1/3)(1+E2)
2 人の場合,
1 回のジャンケンで 1 人残るのは,確率が 2/3 で,この 1 回で終わりなので (2/3)・1,
1 回のジャンケンで 2 人残る = あいこ は,確率が 1/3 で,
この 1 回の後に 平均 = 期待値 E2 回だけジャンケンが続くので,
最初の 1 回と合わせて平均 1+E2 回だけジャンケンをすることになり (1/3)(1+E2),
この二つの可能性ですべてなので,これらを足して,最初の式になります。
他の式も同様です。例えば,4 人で復習すると...

uch*n*an  
No title

1 回のジャンケンで 1 人残るのは,確率が 4/27 で,この 1 回で終わりなので (4/27)・1,
1 回のジャンケンで 2 人残るのは,確率が 6/27 で,
この 1 回の後に 平均 = 期待値 E2 回だけジャンケンが続くので,
最初の 1 回と合わせて平均 1+E2 回だけジャンケンをすることになり (6/27)(1+E2),
1 回のジャンケンで 3 人残るのは,確率が 4/27 で,
この 1 回の後に 平均 = 期待値 E3 回だけジャンケンが続くので,
最初の 1 回と合わせて平均 1+E3 回だけジャンケンをすることになり (4/27)(1+E3),
1 回のジャンケンで 4 人残る = あいこ は,確率が 13/27 で,
この 1 回の後に 平均 = 期待値 E4 回だけジャンケンが続くので,
最初の 1 回と合わせて平均 1+E4 回だけジャンケンをすることになり (13/27)(1+E4),
この四つの可能性ですべてなので,これらを足して[解答]の式を得ます。

いっちゃん  
No title

やどかりさんには、全然無縁ですが今日は
敬老の日です。。

瑠璃色の花も大好き。。小さく咲いて香りもないのに
存在感があると思います。ポチ

ひとりしずか  
No title

ちょっと寂しく感じます。ポチ☆

急に冷え込み寒いです。(18℃)

スモークマン  
No title

>uch*n*anさんへ ^^
解説ありがとうございます~Orz~v
>この 1 回の後に 平均 = 期待値 E2 回だけジャンケンが続く...
が...わからなかったのですが...やっとわかりました!!♪
一種の繰り込み/再帰的な発想ですね♡♡

ニリンソウ  
No title

おはよう、
おじいちゃんおばあちゃんいつもありがとう!
今朝の孫の一言挨拶でした。

ルリマツリって言う花ですか、木かな草かな?
台風の影響そこではどうですか、昨日は夏今日は晩秋のように涼しいです。
ポチ

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ライトブルーの花って意外に少ないですね。
このルリマツリ、そういう意味では記憶に残る花です。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
姿勢はいいとは言えませんが、花を撮るには低くて助かります。
花は可愛いです。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、早速のコメントを有難う御座います。
E2 を求める場合、
確率 2/3 の割合で1回で決定、確率 1/3 の割合で 1+E2 回で決定なのですが、
uch*n*anさんの説明でお分かり頂いたようですので、安堵しています。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ジャンケンの問題に関しては、最後の人数と回数を見て、ふ~んと思って頂ければ幸いです。
ルリマツリは仰る通りかわいい花です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私は割によく見かける低木です。
道端など外で見るのが邪魔にならなくていいです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントとcrazy_tomboさんへの回答を有難う御座います。
期待値の定義に正直に従った式は、かなり長い式ですので、解答には入れられませんでした。
(その気力がありませんでした)
この問題は、何回のジャンケンが必要かと、ちょっと疑問に思ったことを考えると、
割にきれいに解けましたので問題にしました。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
ここには書きませんが、あと○○年で私も高齢者です。
それまで、そしてその後も健康でいたいです。
ところで、この花、仰るように存在感がありますね。
夏の花の中で、涼しさを感じる色でもあります。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとポチを有難う御座います。
今日はこちらでは夕方から雨の予報で、まだ降ってはいませんが雲に覆われて来ました。
昼は晴れて暑かったのですが、今は涼しいです。
そちらは、秋の訪れがもっと早いのでしょう。
暑さから解放されると、さみしさがやってきますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
気持ちのいい、かわいい挨拶ですね。
ニリンソウさんが勝てない相手ですね。
ところで、ルリマツリは低木です。
半蔓性ですので、一見、草のようにも見えます。
こちらでも今日の夕方から涼しいですょ。