[答321] ４人でジャンケン

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[答321] ４人でジャンケン


　４人でジャンケンをするとき、１人の勝者が決まるまでのジャンケンの回数の期待値は？

　４人ともグー･チョキ･パーいずれも 1/3 の確率で出すものとします。


[解答]

　ｎ人でジャンケンをするときの１人の勝者が決まるまでのジャンケンの回数の期待値を E_n とします。

　２人でジャンケンをするとき、勝負がつく確率は 2/3 で、あいこの確率は 1/3 だから、

　 E₂＝(2/3)･1＋(1/3)(1＋E₂) 、(2/3)E₂＝1 、E₂＝3/2 です。

　３人でジャンケンをするとき、

　１人が勝つ確率は 1/3 、２人が残る確率は 1/3 、３人があいこの確率は 1/3 だから、

　 E₃＝(1/3)･1＋(1/3)(1＋E₂)＋(1/3)(1＋E₃) 、(2/3)E₃＝3/2 、

　 E₃＝9/4 です。

　４人でジャンケンをするとき、

　１人が勝つ確率は 4/27 、２人が残る確率は 6/27(＝2/9) 、３人が残る確率は 4/27 、

　４人があいこの確率は 13/27 だから、

　 E₄＝(4/27)･1＋(6/27)(1＋E₂)＋(4/27)(1＋E₃)＋(13/27)(1＋E₄) 、

　 (14/27)E₄＝45/27 、E₄＝45/14 です。


[参考]

　Σを k＝1 ～ n－1 の和を表すものとします。

　E₁＝0，E₂＝3/2，E₃＝9/4，E₄＝45/14 ですが、

　n人でジャンケンをするとき、

　1≦k≦n－1 として、k人が残る確率は _nＣ_k/3^n-1 、

　Σ_nＣ_k＝2ⁿ－2 だから、

　n人が残る確率は 1－(2ⁿ－2)/3^n-1 になります。

　E_n＝Σ(_nＣ_k/3^n-1)(1＋E_k)＋{1－(2ⁿ－2)/3^n-1}(1＋E_n)

　 ＝Σ(_nＣ_k/3^n-1)＋1－(2ⁿ－2)/3^n-1＋Σ(_nＣ_k/3^n-1)E_k＋{1－(2ⁿ－2)/3^n-1}E_n

　 ＝1＋Σ(_nＣ_k/3^n-1)E_k＋{1－(2ⁿ－2)/3^n-1}E_n

　よって、{(2ⁿ－2)/3^n-1}E_n＝1＋Σ(_nＣ_k/3^n-1)E_k

　 (2ⁿ－2)E_n＝3^n-1＋Σ_nＣ_k･E_k

　 E_n＝(3^n-1＋Σ_nＣ_k･E_k)/(2ⁿ－2)

　このような漸化式で E_n が求められます。

☆ 以下、実際の計算を示します。

　2人 3/2回(1．5回)，3人 9/4回(2．25回)，4人 45/14回(約3．21回)，5人 157/35回(約4．49回)，

　6人 13497/2170回(約6．22回)，7人 225161/26040回(約8．65回)，8人 10007591/826770回(約12．10回)，

　9人 200190574/11712575回(約17．09回)，10人 8327737507/342007190回(約24．35回)，

　11人 約34．98回，12人 約50．63回，13人 約73．74回，14人 約107．99回，15人 約158．87回，

　16人 約234．57回，17人 約347．39回，18人 約515．73回，19人 約767．14回，

　そして、20人のジャンケンでは、約1142．90回で１人の勝者が決まることになります。
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