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[答322] 平行四辺形の面積の最大値

ヤドカリ

ヤドカリ



[答322] 平行四辺形の面積の最大値


 図のように、1辺の長さが1の正方形ABCDがあって、ADの中点をM,BCの中点をN とします。

 次に、線分BN上に点Pをとり、DPとMNの交点をQ とします。

 更に、線分AQ上にR,辺AB上にS をとって、平行四辺形PQRSを作ります。

 このとき、平行四辺形PQRSの面積の最大値は?


[解答]

 PC=x (1/2<x<1)とすると、PN=x-1/2,BP=1-x になります。

 また、△PNQ∽△PBS∽△PCD より、

 PN:NQ=PB:BS=PC:CD 、(x-1/2):NQ=(1-x):BS=x:1 、NQ=1-1/(2x),BS=1/x-1 になります。

 従って、

 平行四辺形PQRS=2△PQS=2(台形SBNQ-△SBP-△PNQ)=2台形SBNQ-2△SBP-2△PNQ

  =(BS+NQ)・BN-BS・BP-PN・NQ

  ={1/x-1+1-1/(2x)}/2-(1/x-1)(1-x)-(x-1/2){1-1/(2x)}

  =3-(2x+1/x)

 ここで、相加・相乗平均の関係により、2x+1/x≧2√2 (等号は x=1/√2 のとき成立) だから、

 平行四辺形PQRS≦3-2√2 、最大値は 3-2√2 です。

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Comments 20

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アキチャン  
No title

おはようございます。
好きなお花ですが、今年は、苗を買ってないです f(^_^;
このお花は、次から次に咲いて、長い間楽しませてもらえますね (o^-^o)
かわいい ポチ♪

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
晴れ男って...雨男と同値語なのかもしれない...^^;
だって...自分の行ったあとに震災やら台風やらが続いてる...
こんな考えって...杞憂...?...^^;;...Orz...

岡山でも...雨はないけど...結構な風が吹いてます...
ご注意、ご注意!!

ニリンソウ  
No title

おはようございます!
台風の影響はまだですか充分気を付けて下さいね
オジギソウでしょう、可愛い花ですよね
葉っぱもなでなですると閉じたりして。

ポチ

さっちゃんこ  
No title

此方では台風も治まり穏やかな朝を迎えていますが紀伊半島などは未だ今からが大変みたいですね。

今日のお花! 可愛い色のおじぎ草ですね。
以前育てた事が在ったのですが今は行方不明です(ノд・。)
多年草じゃないのかしら?
合歓の木は花木でおじぎ草は草花だからかな!ポチ

uch*n*an  
No title

私は二つ+αの方法で解きました。
(解法1)は PN = x/2,(解法2)は ∠DPC = ∠PDA = θ とおきましたが,少し面倒で,
結局は,[解答]と同じように相加相乗平均になりました。
+αは(解法1)の改良版ですが,実質同じです。
これらの経験から,個人的には,PC = x/2 とおけばよかったかな,と思っていました。
初等幾何でできないかしばし考えたものの,結局,分からず。
[解答]のようにするのが一番いいのかも知れませんね。

uch*n*an  
No title

この花が「おじぎ草」なのは,花音痴の私にも分かりました。
子供の頃,葉っぱに触るとお辞儀をするのが不思議で,お気に入り。
しばらく育てていたことがあります。

台風は,こちら東京では,時折雨が降るもののまだまだのようです。
夕方から夜がピークらしいです。
そちらはどうでしょうか? 峠は過ぎましたか? 被害はありませんか?

こっこちゃん  
No title

こんにちは

自然災害は怖いですよね”
こちらも 大雨で 被害が起きたところもありますが
今回は 我が家は免れました。

オジギソウ かわいいですね”花は癒してくれるのでいいですねポチ

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
オジギソウは触れると葉が閉じる不思議な花です。
台風、そちらでは今夜影響でそうですね。十分ご注意を!

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
種を蒔いて育てました。と、言ってもほとんど何もしていませんが。
また、種が出来かけています。大切にしなくっちゃ。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、早速のコメントを有難う御座います。
こちらも風が吹きました。
浜松に上陸した頃には、暴風警報も解除されていました。
西日本ではこの台風は終わりですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
浜松に上陸した頃には、こちらでは暴風警報も解除されていました。
一応、まだ強風域には入っています。
オジギソウは幼少の頃から好きな花です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
此方では台風も治まり穏やかな夕方を迎えています。
半日~1日の差ですね。
オジギソウは4月ごろ種を植えています。1年草と思います。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
どの部分をxにするかで色々な解答ができますが、
実質おなじようなことをすることになります。

それより、花に対しての久しぶりのコメントを有難う御座います。
私も、触れると動くことが不思議で、気に入りました。

台風は、そちらでは今夜、最接近ですね。お気を付けて下さい。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
宮崎市内の水害をTVで見ました。とりあえず免れてよかったですね。
オジギソウは葉っぱだけでも面白いのですが、花も魅力あります。
種も必要ですし。

古い人  
No title

ブラジル原産のオジギソウですね。

ネムより少し小型ですが良く似ていますね。ポチ。

uch*n*an  
No title

台風は,こちらも峠を越したようです。もっとも,東北はこれからが大変...
なお,直接は関係ないのですが,ちょっと風邪を引いたみたい。
万が一,明日顔を出さなくても,台風のせいではなく風邪のせいですから (^^;

ヤドカリ  
No title

古い人さん、避難先から帰られての早速のコメントとポチを有難う御座いました。
オジギソウは優しい感じがして好きな花です。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、再度のコメントを有難う御座います。
TVで山手線の運転再開を聞きました。
平時に戻られたようですね。
貴殿が木曜日を前にして、体調を崩されてはいけません。
早い回復を願っております。

スモークマン  
No title

横から...^^;v
患者さんにムンテラするときは「万が一」のリスクまでインフォームドしますが...怖じ気づかれちゃいます...だから...イコールの意味で...
万に9999は大丈夫ってことですってフォローしてます ^^v...Orz~

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
「万が一」のリスクまでインフォームドして、了解してもらわないと、
裁判沙汰になったら医療従事者が困るからですよね。
ところで「ムンテラ」なんて業界用語、微妙な意味合いもあるようで、
どんな意味合いで使われているのか、ちょっと理解に苦しみます。