[答323] 接線と放物線で囲まれる部分の面積

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[答323] 接線と放物線で囲まれる部分の面積


　放物線 y＝x²＋4x＋9 の原点を通る接線と、放物線 y＝x²＋4x＋5 で囲まれる部分の面積は？

　接線は２本考えられますが１本に着目して下さい。どちらを考えても同じ面積になります。



[公式]

　放物線 y＝ax²＋bx＋c が 直線 y＝mx＋n とが２点で交わっているとき、

　２交点のｘ座標をα，β(α＜β)とすれば、囲まれる部分の面積は、

　a＞0 のとき、∫_α^β{(mx＋n)－(ax²＋bx＋c)}dx

　a＜0 のとき、∫_α^β{(ax²＋bx＋c)－(mx＋n)}dx

　であり、いずれも、

　－|a|∫_α^β(x－α)(x－β)dx＝|a|∫_α^β{(β－α)(x－α)－(x－α)²}dx

　 ＝|a|[(β－α)(x－α)²/2－(x－α)²/3]_α^β＝|a|(β－α)³/6　になります。


[解答1]

　接線を y＝mx とすれば、 y＝x²＋4x＋9 と接するから、

　x²＋4x＋9＝mx が重解をもてばよい。

　x²－(m－4)x＋9＝0 、判別式は (m－4)²－36＝0 、m＝10，－2 です。

　m＝10 のとき、接線は y＝10x 、x²＋4x＋5＝10x の解は x＝1，5 だから、

　面積は (5－1)³/6＝32/3 です。

　m＝－2 のとき、接線は y＝－2x 、x²＋4x＋5＝－2x の解は x＝－1，－5 だから、

　面積は {(－1)－(－5)}³/6＝32/3 です。

　いずれにしても、面積は 32/3 になります。


[解答2]

　接点を (p，p²＋4p＋9) とすれば、y'＝2x＋4 より、接線の傾きは 2p＋4 、

　接線は y－(p²＋4p＋9)＝(2p＋4)(x－p) すなわち y＝(2p＋4)x－p²＋9 です。

　これが原点(0，0) を通るから、0＝－p²＋9 、p＝3，－3 です。

　接線は y＝10x ，y＝－2x となって、以下[解答1]と同じです。


[解答3]

　接線を y＝mx＋n ，接点のｘ座標を a とすれば、(x²＋4x＋9)－(mx＋n)＝(x－a)² 、

　x²＋4x＋5＝(x－a)²＋mx＋n－4 です。

　x²＋4x＋5＝mx＋n を解けば、(x－a)²＋mx＋n－4＝mx＋n 、x＝a±2 です。

　求める面積は、

　∫_a-2^a+2{(mx＋n)－(x²＋4x＋5)}dx＝∫_a-2^a+2{4－(x－a)²}dx　

　 ＝4[x]_a-2^a+2－(1/3)[(x－a)³]_a-2^a+2＝4･4－(1/3)･16＝32/3　です。

☆ この解答で「接線が原点を通る」という条件は不要だというのが分かります。


[参考]

　一般に、a＞0，k＞0 として、

　y＝ax²＋bx＋c の接線と y＝ax²＋bx＋c－k で囲まれる部分の面積を求めます。

　接線を y＝mx＋n ，接点の x 座標を p とすれば、

　ax²＋bx＋c＝mx＋n が重解 x＝p を持つから、ax²＋bx＋c－mx－n＝a(x－p)² 、

　ax²＋bx＋c－k＝mx＋n を解くと、

　ax²＋bx＋c－mx－n＝k 、a(x－p)²＝k 、x＝p±√(k/a) となって、

　２交点の x 座標の差は {p＋√(k/a)}－{p－√(k/a)}＝2√(k/a) になります。

　従って、囲まれる部分の面積は、a{2√(k/a)}³/6＝4k{√(k/a)}/3 になります。

　本問の場合は a＝1，k＝4 の場合で、面積は 32/3 になります。

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