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[答323] 接線と放物線で囲まれる部分の面積

ヤドカリ

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[答323] 接線と放物線で囲まれる部分の面積


 放物線 y=x2+4x+9 の原点を通る接線と、放物線 y=x2+4x+5 で囲まれる部分の面積は?

 接線は2本考えられますが1本に着目して下さい。どちらを考えても同じ面積になります。



[公式]

 放物線 y=ax2+bx+c が 直線 y=mx+n とが2点で交わっているとき、

 2交点のx座標をα,β(α<β)とすれば、囲まれる部分の面積は、

 a>0 のとき、∫αβ{(mx+n)-(ax2+bx+c)}dx

 a<0 のとき、∫αβ{(ax2+bx+c)-(mx+n)}dx

 であり、いずれも、

 -|a|∫αβ(x-α)(x-β)dx=|a|∫αβ{(β-α)(x-α)-(x-α)2}dx

  =|a|[(β-α)(x-α)2/2-(x-α)2/3]αβ=|a|(β-α)3/6 になります。


[解答1]

 接線を y=mx とすれば、 y=x2+4x+9 と接するから、

 x2+4x+9=mx が重解をもてばよい。

 x2-(m-4)x+9=0 、判別式は (m-4)2-36=0 、m=10,-2 です。

 m=10 のとき、接線は y=10x 、x2+4x+5=10x の解は x=1,5 だから、

 面積は (5-1)3/6=32/3 です。

 m=-2 のとき、接線は y=-2x 、x2+4x+5=-2x の解は x=-1,-5 だから、

 面積は {(-1)-(-5)}3/6=32/3 です。

 いずれにしても、面積は 32/3 になります。


[解答2]

 接点を (p,p2+4p+9) とすれば、y'=2x+4 より、接線の傾きは 2p+4 、

 接線は y-(p2+4p+9)=(2p+4)(x-p) すなわち y=(2p+4)x-p2+9 です。

 これが原点(0,0) を通るから、0=-p2+9 、p=3,-3 です。

 接線は y=10x ,y=-2x となって、以下[解答1]と同じです。


[解答3]

 接線を y=mx+n ,接点のx座標を a とすれば、(x2+4x+9)-(mx+n)=(x-a)2

 x2+4x+5=(x-a)2+mx+n-4 です。

 x2+4x+5=mx+n を解けば、(x-a)2+mx+n-4=mx+n 、x=a±2 です。

 求める面積は、

 ∫a-2a+2{(mx+n)-(x2+4x+5)}dx=∫a-2a+2{4-(x-a)2}dx 

  =4[x]a-2a+2-(1/3)[(x-a)3]a-2a+2=4・4-(1/3)・16=32/3 です。

☆ この解答で「接線が原点を通る」という条件は不要だというのが分かります。


[参考]

 一般に、a>0,k>0 として、

 y=ax2+bx+c の接線と y=ax2+bx+c-k で囲まれる部分の面積を求めます。

 接線を y=mx+n ,接点の x 座標を p とすれば、

 ax2+bx+c=mx+n が重解 x=p を持つから、ax2+bx+c-mx-n=a(x-p)2

 ax2+bx+c-k=mx+n を解くと、

 ax2+bx+c-mx-n=k 、a(x-p)2=k 、x=p±√(k/a) となって、

 2交点の x 座標の差は {p+√(k/a)}-{p-√(k/a)}=2√(k/a) になります。

 従って、囲まれる部分の面積は、a{2√(k/a)}3/6=4k{√(k/a)}/3 になります。

 本問の場合は a=1,k=4 の場合で、面積は 32/3 になります。

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Comments 14

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アキチャン  
No title

おはようございます。
これが、サンライズエロー レモネード と言うのですネ!
また違ってきれいですネ (o^-^o) ポチ♪

古い人  
No title

昨日から少し変った花ですね此の花は。

原産地は何処ですか。 ポチ。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速の深夜のコメントとポチを有難う御座います。
朝日を期待してのサンライズ、今朝は晴れました。
オレンジスカッシュと違って、優しい感じがします。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
昨日のより色が薄いので穏やかな感じです。
原産地は、メキシコ、西インド諸島のようです。

ひとりしずか  
No title

レモネード思わせる色ですね。
オレンジスカッシュよりはが小さいですね。
花の大きさどれくらいかな?蝶(?)がいる。ポチ☆

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
レモン水ほど薄い色ではありませんが、そんな感じがします。
ところで、ラムネはレモネードが訛った言葉だそうですね。
花の大きさは、左上のセセリチョウと比べて頂ければだいたい分かると思います。

ひとりしずか  
No title

朝咲いて夜には萎む~スカッシュの発泡みたいに儚い花だったんですね。5㎝位ですか・・・

ニリンソウ  
No title

今日も素敵な花、やどかりさん花撮るの上手いですよ!
本物を見てみたいですね。

ポチ

uch*n*an  
No title

私の解法は[解答1]でした。ただ,一般的に,
y = ax^2 + bx + c,a > 0 とし,放物線の外部にある一点 (p,q) を通る接線を考え,
接線は x 軸に垂直になることはないので,y = mx + q - mp とおき,
y = ax^2 + bx + d と交わる場合,c > d,として解きました。
結果は,4/3 * √((c - d)^3/a) で,m にも p,q にもよらないので,
[解答3]や[参考]の結論と一致しています。
なお,[解答3]の
>(x2+4x+9)-(mx+n)=(x-a)x2
及びそれ以降は,「(x^2+4x+9)-(mx+n)=(x-a)^2」の書き間違いですね,きっと。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、再度のコメントを有難う御座います。
萎む時はサンセットですね。大きさは大体それ位かと思います。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
こちらのほうが淡い優しい感じがします。
本物をご覧になりたいとのことですが、園芸店でも売られるようになってくると思います。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントとタイプミスの指摘を有難う御座います。
早速なおしました。
実は 2乗を表すのに <SUP>2</SUP> としています。
コピペするときに、x<SUP>2</SUP> の x まで入ってしまったようです。

uch*n*an  
No title

えと,
>x2+4x+5=(x-a)x2+mx+n-4 です。
>x2+4x+5=mx+n を解けば、(x-a)x2+mx+n-4=mx+n 、x=a±2 です。
のところはまだ直っていないようです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、再度のコメントとタイプミスの指摘を有難う御座います。
早速なおしました。
積分の所だけしか気づきませんでした。