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[答325] 円周上の格子点

ヤドカリ

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[答325] 円周上の格子点


 xy平面上の円 x2+y2=N 上に格子点(x座標,y座標ともに整数の点)が

 24個あるような最小の自然数 N の値は? また、32個あるような最小の自然数 N の値は?


[解答]

 原点以外の(a,b)が x2+y2=N 上の格子点であれば、

 次の点も x2+y2=N 上の格子点になります。

  (a,b),(-a,b),(a,-b),(-a,-b),(b,a),(-b,a),(b,-a),(-b,-a)

 この様な点を、「同伴」ということにします。

 同伴な点は、一般には8個ずつですが、

 (a,0)と同伴なのは、(a,0),(-a,0),(0,a),(0,-a) の4個、

 (b,b)と同伴なのは、(b,b),(-b,b),(b,-b),(-b,-b) の4個です。

 また、(a,0),(b,b) の両方が x2+y2=N 上の格子点であれば、

  N=a2=2b2 になり、このようなことは有り得ません。

 よって、座標軸上や y=x 上に格子点があれば、格子点の総数は 8の倍数+4 になり、

 座標軸上にも y=x 上にも格子点がなければ、格子点の総数は 8の倍数 になります。

 本問では 格子点は 24個,32個ですので、座標軸上にも y=x 上にも格子点はなく、

 同伴でない 24/8=3,32/8=4 種類の点があることになります。


 次に、点(a,b)と点(p,q)との対応を、

 (p,q)=(a-b,a+b) とすれば、(a,b)=((p+q)/2,(-p+q)/2) だから、

 点(a,b)と点(p,q)は 1:1 に対応します。

 また、p2+q2=(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) だから、

 (a,b)が x2+y2=N 上の格子点であれば、(p,q)は x2+y2=2N 上の格子点であり、

 逆に、(p,q)が x2+y2=2N 上の格子点であれば、

 p,q は偶数どうしまたは奇数どうしだから、(a,b)は x2+y2=N 上の格子点ですので、

 x2+y2=N 上の格子点と x2+y2=2N 上の格子点は同数です。

 従って、最小の自然数 N は奇数になります。

 以下 N を奇数として考えます。 このとき、x,y の一方が偶数、他方が奇数になります。


 更に、同伴でない格子点(a,b)と(c,d)が 円 x2+y2=N 上にある場合を考えます。

 一般性を失うことなく、aとc を偶数 ,bとd を奇数 にすることができます。

 a2-c2=d2-b2 、(a+c)(a-c)=(d+b)(d-b) 、

 ここで、a±c,d±b は偶数だから、

  (例えば、GCD(a+c,d+b)=2r,GCD(a-c,d-b)=2s とおくことにより)

 a+c=2pr,d+b=2qr,a-c=2qs,d-b=2ps と表すことが出来て、

 a=pr+qs,b=qr-ps,c=pr-qs,d=qr+ps と表され、

 (pr+qs)2+(qr-ps)2=(pr-qs)2+(qr+ps)2 =(p2+q2)(r2+s2) となります。

 これを、格子点(p,q)と(r,s)から格子点(pr+qs,qr-ps)と(pr-qs,qr+ps)を「生成する」と考え、

 (p,q)(r,s) ⇒ (pr+qs,qr-ps),(pr-qs,qr+ps) と書くことにします。

 このとき、生成された格子点は、 x2+y2=(p2+q2)(r2+s2) 上にあります。

 ただし、「⇒」の前後に書く格子点は同伴なものならどれを書いてもよいものとします。

 場合分けして詳細に書けば冗長になりますので、省略しますが、

 「⇒」の前に書く格子点を同伴なものに書き換えても、「⇒」の後に書く格子点は結局、

 同伴なものになります。(1つ目と2つ目が入れ替わる場合もあります)

 また、p,q,r,s のいずれかが 0 の場合、例えば、s=0 のとき、

 (p,q)(r,0) ⇒ (pr,qr) のように生成される格子点は1個だけです。

  ( p=q または r=s の場合、例えば、r=s のとき、N が奇数という条件に反しますが、)

  ( (p,q)(r,r) ⇒ (pr+qr,qr-pr) のように生成される格子点は1個だけです。 )

 N が奇数の場合だけを考えればよいので、pとq,rとs の片方が偶数で片方は奇数として、

 なるべく原点に近い、第1象限またはx軸の正の部分の格子点を求めると、

  (以下、負の座標をもつ格子点でも同伴な正の座標の格子点に書き換えます)

 (2,1)(2,1) ⇒ (5,0),(3,4) だから、

 (2,1)(2,1)(2,1) ⇒ (5,0)(2,1),(3,4)(2,1) ⇒ (10,5),(2,11) は2種類で適しません。

 (2,1)(2,1)(2,3) ⇒ (5,0)(2,3),(3,4)(2,3) ⇒ (10,15),(18,1),(6,17) は3種類あります。

 順序を変えて、 (2,1)(2,3) ⇒ (7,4),(1,8) だから、

 (2,1)(2,3)(2,1) ⇒ (7,4)(2,1),(1,8)(2,1) ⇒ (18,1),(10,15),(6,17) としても同じ結果を得ます。

 よって、3種類の場合の最小の N は、N=(22+12)(22+12)(22+32)=325 です。

 (2,1)(2,3)(4,1) ⇒ (7,4)(4,1),(1,8)(4,1) ⇒ (32,9),(24,23),(12,31),(4,33) から、

 4種類の場合の最小の N が求まり、N=(22+12)(22+32)(42+12)=1105 です。


[参考] 4桁までの奇数について、格子点が 20個以上の N の値を記しておきます。

 20個 625,5625
 24個 325,425,725,845,925,1025,1325,1445,1525,1825,2225,2425,2525,2725,
   2825,2873,2925,3125,3425,3725,3757,3825,3925,4205,4325,4525,4825,4901,
   4925,5725,5825,6025,6253,6425,6525,6725,6845,6925,6929,7025,7325,7605
   7825,7925,8325,8381,8405,8425,8725,8825,8957,9225,9325,9725,9925
 32個 1105,1625,1885,2125,2405,2465,2665,3145,3445,3485,3625,3965,4505,4625,
   4745,5125,5185,5365,5785,5945,6205,6305,6409,6565,6625,7085,7345,7565,7585,
   7625,7685,8177,8245,8585,8845,8905,9061,9125,9265,9605,9685,9805,9945
 36個 4225,7225
 40個 8125
 48個 5525,9425

☆ 整数 x,y が x2+y2=N を満たすとき、

 x,y の片方でも3の倍数でなければ、N は3の倍数にならないので、

 N が3の倍数であれば、x,y の両方が3の倍数になり、N は9の倍数になります。

 従って、x2+y2=N と x2+y2=9N の格子点は同数です。

 上の N の値のうち、アンダーラインで示したのが9の倍数です。

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Comments 18

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アキチャン  
No title

おはようございます。
わぁ、今までのお花の上に色を塗ったみたいです (o^-^o)
この種のニチニチソウはあまり見ないです。。ポチ♪

古い人  
No title

今日は綺麗な色変わりですね。

叉色がいいですね絞り花ですね、ポチ。

ニリンソウ  
No title

おはようございます!
今日の花は賑やかな幼稚園の子供達のようです。
しばらくいい日和が続きそうです、花散歩にいい季節ですね。 ポチ

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
めちゃくちゃ嵌ってしまった問題でした ^^
難しいですね...^^;;..
熟読玩味ぃ~~~Orz~♡
x^3+y^3=z^3 を満たす自然数はないけど...x^3+y^3=Nはいくらでも解を持てるわけですね?...嘘かな...^^;...

さっちゃんこ  
No title

おはようございます。
日日草ですよね?
絞り模様のは始めてですがとっても可愛くて綺麗ですね~。
ずーっとみていて飽きない花ですね。ポチ

ひとりしずか  
No title

一段と迫力増しましたね―^^でも嫌味にならない色合いが
いいですね!子どもたちがわぁ―と寄ってきそうな~ポチ☆

uch*n*an  
No title

この問題は,奥が深く,高校レベルまでの数学では,その本質は難しい問題でした。
でもそれだけに,非常に興味深く,紹介頂いたサイト他で,少しずつ勉強中です。
私の解法自体は,言葉は拙いものの[解答]と同じだと思います。
なお,x^2 + y^2 = N の N を与えたときの格子点の個数に関して,
一般的に計算する方法,一般式ではなくアルゴリズム,も見つけましたが,
証明にはいろいろ準備が必要そうですし,詳細までは詰め切れていないので,
省略します。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
このニチニチソウは「ビンカ京風車」というようです。
いろいろありますね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
このような絞りの花弁の柄もいいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
お孫さんを思い出されたのでしょうか?
それとも同じ園で遊ぶ女の子でしょうか?

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、早速のコメントを有難う御座います。
> x^3+y^3=N はいくらでも解を持てるわけですね?...
N を固定しなければ、ですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰る通り、ニチニチソウです。「ビンカ京風車」というようです。
「ビンカ京風車」にもいろいろ種類があるようです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
「ビンカ京風車」の名前の通り、子供がかさぐるまを持って集まっているようにも見えます。

こっこちゃん  
No title

( ^-^)ノ(* ^-^)ノこんばんわぁ♪

変りニチニチソウですね
いろんな種があって 嬉しいですよね” ポチ

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
私も詰め切れていませんが、
Nを素因数分解し、素因数に (4k-1)形の素数の奇数乗があれば 0個です。
なければ、素因数に2や(4k-1)形の素数の偶数乗があれば全部除くと、
1 または (4k+1)形の素数だけで出来る数ができますが、
その数の 約数の個数*4 が x^2+y^2=N の 整数解の組数になるようです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ニチニチソウにも色違い以外に、いろんな種類があることを、
今年になって知りました。

lisuh  
No title

エクセルのセルで、強引に円を描くのに使えそうですね

ヤドカリ  
No title

lisuhさん、初めまして。
5525 のように 48個も格子点があれば、線分でつないでも、48角形、
点をとっていけば円に近いものになると思います。
縦横ざっと150位の正方形のセルが必要ですが。