[答326] 最大値の分散
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[答326] 最大値の分散
1~9のカードが1枚ずつ合計9枚あります。その中の1枚を取り出し、数を記録してもとに戻します。
それを2回繰り返し、最大値(1,2回目の小さくない方)を X とするとき、確率変数 X の分散 V(X) は?
[解答]
一般化して、カードを 1~nのn枚とします。
最大値が X である確率 P(X) は、P(X)={X2-(X-1)2}/n2=(2X-1)/n2 です。
Σが X=1 ~ X=n の和を表すものとして、
期待値 E(X) は、
E(X)=ΣX・P(X)=Σ(2X2-X)/n2={n(n+1)(2n+1)/3-n(n+1)/2}/n2
={(n+1)(2n+1)/3-(n+1)/2}/n=(n+1)(4n-1)/(6n)
分散 V(X) は、
V(X)=ΣX2・P(X)-{E(X)}2=Σ(2X3-X2)/n2-{E(X)}2
={n2(n+1)2/2-n(n+1)(2n+1)/6}/n2-(n+1)2(4n-1)2/(36n2)
={18n2(n+1)2-6n(n+1)(2n+1)}/(36n2)-(n+1)2(4n-1)2/(36n2)
=(n+1)(n-1)(2n2+1)/(36n2)
n=9 のとき V(X)=10・8・163/(36・81)=3260/729 です。
☆ E(X)=n(4+3/n-1/n2)/6 ,V(X)=n2(2-1/n2-1/n4)/36 だから、
n が大きくなれば、平均は ほぼ 2n/3 ,分散は ほぼ n2/18 ですね。
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