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15゚,18゚ の整数倍の三角比

ヤドカリ

ヤドカリ



15゚,18゚ の整数倍の三角比

 sin30゚=cos60゚=1/2 ,sin45゚=cos45゚=1/√2 ,sin60゚=cos30゚=√3/2 はよく知られていますが、

 これ以外にも、15゚,18゚ の整数倍の三角比はよく使われますので、まとめておきます。


 まず、左図で、BD=4 とします。

 △BDEで、BE=2√3,DE=2 になり、△AEDで、AE=2,AD=2√2 になり、

 AB=2√3+2 だから、△ABCで、AC=BC=(2√3+2)/√2=√6+√2 、DC=√6-√2 です。

 △DBCで、sin15゚=cos75゚=(√6-√2)/4 ,sin75゚=cos15゚=(√6+√2)/4 になります。


 次に、右図で、正五角形の1辺を 4 ,対角線を x とします。

 △PRS∽△RQS より、PR:RQ=RS:QS 、(x-4):4=4:x 、x2-4x=4 、x=2+2√5 です。

 RM=(RT-TP)/2=(2+2√5-4)/2=√5-1 、TN=RT/2=(2+2√5)/2=√5+1 になります。

 △RQMで、QM=√{42-(√5-1)2}=√(10+2√5) だから、

  sin18゚=cos72゚=(√5-1)/4 ,sin72゚=cos18゚={√(10+2√5)}/4 になります。

 △STNで、SN=√{42-(√5+1)2}=√(10-2√5) だから、

  sin36゚=cos54゚={√(10-2√5)}/4 ,sin54゚=cos36゚=(√5+1)/4 になります。


 これで、15゚,30゚,45゚,60゚,75゚ と 18゚,36゚,54゚,72゚ の三角比が分かりました。

  3゚=18゚-15゚ ,6゚=36゚-30゚ ,9゚=54゚-45゚ ,12゚=72゚-60゚ ,21゚=36゚-15゚ ,

  24゚=54゚-30゚ ,27゚=45゚-18゚ ,33゚=18゚+15゚ ,39゚=54゚-15゚ ,42゚=72゚-30゚ ,

  48゚=30゚+18゚ ,51゚=36゚+15゚ ,57゚=72゚-15゚ ,63゚=45゚+18゚ ,66゚=36゚+30゚ ,

  69゚=54゚+15゚ ,78゚=60゚+18゚ ,81゚=45゚+36゚ ,84゚=54゚+30゚ ,87゚=72゚+15゚

 で、加法定理を使えば、3゚ の整数倍の三角比はすべて計算できます。

 ただし、 sin36゚=cos54゚ ,sin72゚=cos18゚ の影響で、ほとんど2重根号がつきます。

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Comments 20

There are no comments yet.
古い人  
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豆朝顔と言うのですか白が綺麗ですね。

とても綺麗で可愛い花ですね。 ポチ。

いっちゃん  
No title

おはようございます。
白い花も咲いていたのですね^^
名前に豆がつくようにちっちゃくて可愛いです♪
ポチ

アキチャン  
No title

おはようございます。。
白もかわいいですね (o^-^o) ポチ♪

さっちゃんこ  
No title

こんにちは。
小さくて可愛い朝顔?
だけど畑に生えたら繁殖力が強く
畑全部占領されかねなく成りますよね。
必死でむしり取りながら方や白とピンクの花を寄せ植え仕立てしている私は何なのでしょう!
おバカさん"としか言いようがないですね! 笑! ポチ

uch*n*an  
No title

個人的には既知のことでしたが,まとめをありがとうございます。
原理的には3次方程式を解けば 1°も求まるわけですが,
残念ながら,これは簡単ではないですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
これも線路わきのフェンスに咲いていました。
今日、散歩していると、古墳のフェンスの中にも咲いていました。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
図形的に簡単に求められるのがこの三角比です。
まとめましたので、必要なときにご覧ください。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
小さなアサガオです。誰にも守られず、自生しているのが素敵でした。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
マメって小さいことも表しますが、
私はマメのブログを更新しています。笑

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
昨日のピンクと今日の白、両方見られたのは幸運でした。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
邪魔になることがあっても小さい花を愛でる優しさを、"おバカさん"と言うのでしょうか?
人間、まだまだ植物に学ぶことが多いと思います。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
まとめておくと、三角関数の問題の解答説明の時に引用できるので、
楽かなぁ、と思って記事にしました。

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
きっちり考えたこともなかったですが...
奇麗に導出できるものですね♪
後半は...小町算みたいね ^^

こんな式見つけました...
cos(49°+49°+49°)
=cos(180°-15°-18°)
=-cos(15°+18°)
でも...これも3次式になっちゃうから大変ですよねぇ...^^;...Orz...

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
> でも...これも3次式になっちゃうから
の意味が分かりません。
cos(49゚+49゚+49゚)=cos(75゚+72゚)=cos75゚cos72゚-sin75゚sin72゚
で、計算できます。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
すんません...はしょっておりました...^^;
cos49°の求め方でしたぁ...Orz...

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
3゚の倍数以外は3次方程式を解くことになりますね。

こっこちゃん  
No title

小さくて 可愛いアサガオですね”

大きなのもいいけど コンナに小さなのもいいですね”
いつもの散歩道にも咲いてるようです” 可愛いのポチ

ひとりしずか  
No title

葉の大きさからほんとマメなんだ―
風が冷たくなってきて~そんな中で咲く花逞しいな―ポチ☆

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
これは線路わきのフェンスに咲いていたものですが、
今日は、仁徳天皇陵のフェンスの中に咲いているのを見ました。
逞しく自生しています。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとポチを有難う御座います。
私も逞しいなぁーと思います。
ルコウソウ程度の大きさの花です。