FC2ブログ

Welcome to my blog

[答328] 3本の直線で囲まれる部分の面積

ヤドカリ

ヤドカリ


'

[答328] 3本の直線で囲まれる部分の面積


 座標平面上に O(0,0),A(8,3),B(6,4) があり、△OABの内部に C(p,q)があって、

 △OAC=3,△OBC=1 であるとき、次の3直線 L,M,N で囲まれる部分の面積は?

   L:8x+3y=1 , M:6x+4y=1 , N:px+qy=1



[公式・定理]

 3点 (0,0),(a,b),(c,d) を頂点とする三角形の面積は |ad-bc|/2 です。


 A(a),B(b),C(c) を頂点とする△ABCの内部の点Pについて、

 △PBC:△PCA:△PAB=a:b:c のとき、

 Pの位置ベクトルは (aa+bb+cc)/(a+b+c) です。


[解答]

 △OAB=|8・4-3・6|/2=7 ,△ABC=△OAB-△OAC-△OBC=7-3-1=3 ですので、

 (p,q)=(3(0,0)+1(8,3)+3(6,4))/7=(26/7,15/7) になって、

 N:px+qy=1 は、7px+7qy=7 、26x+15y=7 になります。

 連立方程式を解くプロセスは省略しますが、

 L,M の交点は(1/14,1/7) , L,N の交点は(-1/7,5/7) , M,N の交点は(13/14,-8/7) で、

 平行移動で、(1/14,1/7) ⇒ (0,0) とすれば、

 (-1/7,5/7) ⇒ (-3/14,4/7) ,(13/14,-8/7) ⇒ (6/7,-9/7) だから、

 この3点を頂点とする三角形の面積は、|(-3/14)・(-9/7)-(4/7)・(6/7)|/2=3/28 です。


[参考]

 計算は煩雑ですので省略しますが、

 3直線 ax+by=1 ,cx+dy=1 ,ex+fy=1 で囲まれる三角形の面積 S は、

  O(0,0),A(a,b),B(c,d),C(e,f) とすれば、

 S=(△ABC)2/(4・△OBC・△OCA・△OAB) になります。

 本問の場合は、S=32/(4・1・3・7)=3/28 です。

.

スポンサーサイト



Comments 20

There are no comments yet.
ニリンソウ  
No title

おはようございます!
ニラの花でしょうか、よく蝶が遊びに来ていますが。

ポチ

古い人  
No title

今日はニラてすね以前は見向きもしなかったが。

この頃は健康志向でニラも見直されてきましたね。

ポチ。

さっちゃんこ  
No title

おはようございます。
ニラの花質素で可愛いですねー

私葉ニラ玉が大好きです。
自分で作っても簡単なのに居酒屋さんでしか食べないのも不思議かも・・・ポチ

さっちゃんこ  
No title

ごめんなさい
私葉は 私はです

ひとりしずか  
No title

ニラの花緑と白が新鮮
食用のニラ、西洋ニラばかりで・・・日本ニラが好きなのに~
ポチ☆

アキチャン  
No title

おはようございます。。
白いお花はなかなか上手く撮れませんが、きれいですね~ (o^-^o)
ポチ♪

uch*n*an  
No title

なるほど,P はベクトルを使えば,というか比を使えばですが,簡単に求まりましたね。
もっとも,直接に三角形の面積の条件から p,q の連立方程式を立てて解いても,
大したことはありません。私はそうして後は[解答]と同じでした。
この問題は,図形を座標で扱う際の幾つかのことを理解していれば難しくはないでしょう。
しかし,そうした基礎知識,連立方程式をちゃんと解けるか,など,
基本的なことを試すにはいい問題で,基本が分かっているかどうかがバレてしまいそうです。
なお,[参考]の結果は私も得ています。
確かに計算は面倒ですが,やるべきことは単純なので,いい復習,演習問題だと思います。

黒翼  
No title

なるほど~

基本的な事項の組み合わせで解ける問題ですね~
問題を見た瞬間に面倒そうだな~と思い,時間の関係もあって考えませんでした.

挑戦してみるのも大事ですね.

黒翼  
No title

ポチ☆

先ほどのコメントに書き忘れてしまいました.

こっこちゃん  
No title

こんばんは

ニラノ 花 白い可愛い花なのですね”
清楚で 素敵~~ ポチ

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
こちらでは、道端によく自生しています。
蝶は見かけませんが……。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私には、食物としてより、白い花に興味があります。
なかなか綺麗なはなです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
花がなかなか可愛いです。
ところで、居酒屋さんによく行かれるのですか?

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私が白い花が好きなのは、葉の緑とのコントラストがいいと感じるからです。
コメントをみて貴女もそう感じられるのかな? と思いました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰る通り、白い花は難しいです。これも何枚か撮ったうちの1枚です。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
三角形内の点の座標を求めるのに、私はこの方法を真っ先に考えます。
問題としては、仰る通り、基本的でした。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントとポチを有難う御座います。
面倒でも解いていれば何か発見があるかも知れません。
これからも、解きに来てくださいね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
小さな白い花はかわいいです。特に、沢山集まっていると目につきます。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
座標から面積を求める表現があったこと思い出しましたぁ ^^;v
今回は...OBの中点とAを結ぶ線上の6:1の点としてPを...また...△の面積はすべて...れいの長方形から残りの△を引く方式で考えてしまいました...それからすると...ベクトルは便利な道具ですねぇ♪

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
ベクトルは使いなれると便利なものですょ。