[答32] 円周上の点までの距離
[答32] 円周上の点までの距離
図のように、円 x2+y2+4x+6y-52=0 上の点A(2,4)と、点P(6,1)について、
線分APと円のA以外の交点をBとするとき、PBの長さは?
[解答1]
円は、(x+2)2+(y+3)2=65、直線APは、3x+4y-22=0 です。
ABの中点をHとすると、円の中心C(-2,-3)と直線APの距離は、
ヘッセの公式で、CH=|3(-2)+4(-3)-22|/√(32+42)=8。
AH2=CA2-CH2=65-82=1, AH=1。
PB=PA-2AH=√(42+32)-2=3。
[解答2]
円は、(x+2)2+(y+3)2=65。Pからの接線をPTとすると、
PT2=PC2-CT2=(6+2)2+(1+3)2-65=15 です。
方べきの定理より、PA・PB=PT2、5PB=15、PB=5。
☆ PT2 は、結局、x2+y2+4x+6y-52 に Pの座標(6,1)を代入したものです。
x2+y2+4x+6y-52=(x+2)2+(y+3)2-65 だからです。
本来、中心も半径も求める必要はありません。
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