[答32] 円周上の点までの距離

[答32] 円周上の点までの距離


　図のように、円 x²＋y²＋4x＋6y－52＝0 上の点A(2,4)と、点P(6,1)について、

　線分APと円のA以外の交点をBとするとき、PBの長さは？





[解答1]

　円は、(x＋2)²＋(y＋3)²＝65、直線APは、3x＋4y－22＝0 です。

　ABの中点をHとすると、円の中心C(-2,-3)と直線APの距離は、

　ヘッセの公式で、CH＝|3(-2)＋4(-3)－22|/√(3²＋4²)＝8。

　AH²＝CA²－CH²＝65－8²＝1, AH＝1。

　PB＝PA－2AH＝√(4²＋3²)－2＝3。


[解答2]

　円は、(x＋2)²＋(y＋3)²＝65。Pからの接線をPTとすると、

　PT²＝PC²－CT²＝(6＋2)²＋(1＋3)²－65＝15 です。

　方べきの定理より、PA・PB＝PT²、5PB＝15、PB＝5。

☆ PT² は、結局、x²＋y²＋4x＋6y－52 に Pの座標(6,1)を代入したものです。

　x²＋y²＋4x＋6y－52＝(x＋2)²＋(y＋3)²－65 だからです。

　本来、中心も半径も求める必要はありません。　

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