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[答32] 円周上の点までの距離

ヤドカリ

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[答32] 円周上の点までの距離


 図のように、円 x2+y2+4x+6y-52=0 上の点A(2,4)と、点P(6,1)について、

 線分APと円のA以外の交点をBとするとき、PBの長さは?





[解答1]

 円は、(x+2)2+(y+3)2=65、直線APは、3x+4y-22=0 です。

 ABの中点をHとすると、円の中心C(-2,-3)と直線APの距離は、

 ヘッセの公式で、CH=|3(-2)+4(-3)-22|/√(32+42)=8。

 AH2=CA2-CH2=65-82=1, AH=1。

 PB=PA-2AH=√(42+32)-2=3。


[解答2]

 円は、(x+2)2+(y+3)2=65。Pからの接線をPTとすると、

 PT2=PC2-CT2=(6+2)2+(1+3)2-65=15 です。

 方べきの定理より、PA・PB=PT2、5PB=15、PB=5。

☆ PT2 は、結局、x2+y2+4x+6y-52 に Pの座標(6,1)を代入したものです。

 x2+y2+4x+6y-52=(x+2)2+(y+3)2-65 だからです。

 本来、中心も半径も求める必要はありません。 

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