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[答332] 斜辺が通過する領域の面積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答332] 斜辺が通過する領域の面積


 OX=OY=1 を満たす直角二等辺三角形の辺OX上に点A,OY上に点Bをとって、

 AB=1 の直角三角形OABをつくります。

 この条件のもつすべての直角三角形OABの斜辺ABが存在する領域(図の水色の部分)の面積は?


[解答]

 この図形を座標平面上に置き、O(0,0),X(1,0),Y(0,1),∠BAO=θ (0<θ<π/2)とすると、

 A(cosθ,0),B(0,sinθ),直線AB:x/cosθ+y/sinθ=1 になります。

 2直線 x/cosθ+y/sinθ=1 ,x/cosφ+y/sinφ=1 の交点(x,y)を求めると、

 計算は冗長になりますので省略しますが、次のようになります。

 x=cosθcosφ(sinθ-sinφ)/sin(θ-φ) ,y=-sinθsinφ(cosθ-cosφ)/sin(θ-φ)

 ここで、sin(θ-φ)=2sin(θ/2-φ/2)cos(θ/2-φ/2) ,

 sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2) ,cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)

 だから、

 x=cosθcosφcos(θ/2+φ/2)/cos(θ/2-φ/2) ,y=sinθsinφsin(θ/2+φ/2)/cos(θ/2-φ/2)

 φ→θ のとき、(x,y) → (cos3θ,sin3θ) になり、

 X(1,0),Y(0,1) を含めて、結局、曲線は、媒介変数θを用いて、

 x=cos3θ,y=sin3θ (0≦θ≦π/2) になります。

 dx=-3cos2θsinθdθ=-3(1-sin2θ)sinθdθ で、

 θ=0 のとき x=1,θ=π/2 のとき x=0 だから、

 求める領域の面積は、(積分は https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-983.html 参照)

 -3∫π/20(1-sin2θ)sin4θdθ

   =3∫0π/2(sin4θ-sin6θ)dθ

   =3{(3/4)(1/2)(π/2)-(5/6)(3/4)(1/2)(π/2)}

   =3(1/6)(3/4)(1/2)(π/2)=(3/32)π になります。

☆ アステロイドと呼ばれる有名な曲線です。

☆ [266] https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-783.html と僅かな違いですが、難しいと思います。

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Comments 20

There are no comments yet.
ひとりしずか  
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これは紫式部?コムラサキと見分け付けにくい~゚(゚´Д`゚)゚
色鮮やかで目を惹きます。雪とのコラボもいいですよ~ぽち☆

いっちゃん  
No title

おはようございます。
区別難しいですね。ぶどうのように、たわわだからコムラサキかな。。わたしも紫色した着物姿を想像してしまいます。きれいないろですね。白式部も美しいですよね。。ポチ

Yasuko  
No title

おはようございます♪
これは紫式部?コムラサキ?見分けが付かないは~~
白のコムラサキも美しいですよ✿
☆ポチ

さっちゃんこ  
No title

おはようございます。
みなさん同じの様ですね。
私も「紫式部」と思っていたのですが「コムラサキ」も在る様で
未だに区別がつけられません。
区別が着くのは「白式部」ですね。
是は誰でも区別が着くんですけどね・・・・ ポチ

こっこちゃん  
No title

おはようございます

紫式部なのですね” 覚えておこう~~ メモメモ
何時も素敵なのを 見せていただきありがとうございます。 ポチ

uch*n*an  
No title

この問題は,以前に類題の[266]がありました。しかし,今回ははるかに難しくなっています。
私は,最後の積分の計算までは[266]の[解答2]の方針で解きました。
[解答]のような方法もあるのですね。最初の文字の置き方が少し違うので,
積分には (sinθ)^n が出てきましたが,結局は同じ計算になります。
アステロイドは,確かにかなり有名な曲線で,
この問題の領域の境界線がアステロイドになることも,実はよく知られています。
確か,私の高校2年のときの数学の教科書の表紙の絵がアステロイドで,
当時はそれを知らなかったので,数学の得意な同級生(女性です。)と,
これは何だろう,と議論したことがあります。
その後,私は,才能無く,しがないサラリーマンですが,
彼女は,才能を伸ばし,今は大学で生命工学系の教授になっているようです。
そんなことを懐かしく思い出しながら解きました。

tsuyoshik1942  
No title

[266]と同様に自分流で答の概算値「0.2945..」を求め、以後は
やどかりさんのヒントから答にπが入りそうなことと「332」から
(3/32)πを推定しました。
正攻法ではまったく手が出ませんでした。

「実直な優等生の青春の機微」のつぶやき、うれしいですね!

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
やはり紫は日本によく合う色ですね。
和服の日本女性は想像しませんでした。
電車で通勤にている私は、茶髪・金髪をよく見かけますから。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
コムラサキ、この名前の蝶もいて、幼少の頃は蝶しか知りませんでした。
この実を見ると思い出します。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
実になったとき密集しているのがコムラサキ、ばらけているのがムラサキシキブ、
といい加減に私は区別します。
こちらでは雪が積もることが珍しいので、雪中のコムラサキは見たことがありません。
綺麗でしょうね。

ヤドカリ  
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いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
> ぶどうのように、たわわだからコムラサキかな。。
あながち間違いではないでしょう。
それから、貴女も着物姿ですか。黒髪が似合う人はいいですね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
これは錦織公園のもので、区別できますよ。
「コムラサキシキブ」とはっきりプレートに書いてありました。
あまり見たことがありませんが、白も美しいですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
実になったとき密集しているのがコムラサキ、ばらけているのがムラサキシキブ、のようです。
両方の写真を並べればいいのでしょうが、紫式部の方は、近年見ていません。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
これは実が密集していてこの時期に目立ちます。
でも、平安時代以前には何と呼んでいたのだろうと疑問がわきます。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントと思い出を有難う御座います。
私は多分何かの本のグラビアで見た気がします。
後年、円の中で 1/4の円を回転させた時の軌跡と同じだということを知って不思議でした。
その頃は数学的に同じ曲線だということを導けなかったのですが、
確かめられた時は感動でした。
もっと早く確かめられるような才能があったら、その後の人生も変わったかも知れません。

ヤドカリ  
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2011/10/14(金) 午後 6:56の鍵コメ様へ
貴殿のコメントも嬉しいです。

スモークマン  
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グーテンアーベント ^^
uch*n*anさんの胸きゅんな話...に煽られて...思い出しました...
女性と話すのもオクテだったわたし...とくに好きな子には話しかけられても悟られまいとしてたよう気がする...^^;...ナンタルチーァ!!
もう一度中学~高校に戻りたくなってきました...^^
"back to the future" の世界にしばし浸れました♡

ちなみに...その頃わたしもこの曲線に遭遇したのかもしれないのに...まったく記憶にありません...わたしゃ一体何して過ごしてたんだろ...わたしの青春を返せ~~~!!...って...自分に叫んでみたり...Orz...

ヤドカリ  
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crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
私は高1のはじめの頃に時に、ある数学の問題を女の子に聞かれて、
かなりの時間をかけて解いたことを思い出しました。
後年になって、それがラングレーの問題だと知りました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座いました。
> 2011/10/14(金) 午後 6:56の鍵コメ様へ
> 貴殿のコメントも嬉しいです。
とコメントしましたが、鍵コメントではありませんでしたね。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、鍵コメントを有難う御座います。
問題だけは今でも覚えています。有名な問題です。