[答333] 内角を度で表したとき自然数になる正n角形
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[答333] 内角を度で表したとき自然数になる正n角形
正n角形の1つの内角を度で表したものを f(n) とします。例えば f(6)=120 です。
では、f(n)の値が整数になる f(n) すべての和は?
[解答]
多角形の外角の和は、360゚ で、1つの内角と外角の和が 180゚ だから、f(n)=180-360/n 、
f(n) が整数になるのは、nが 360=23・32・5 の約数のときで、
該当するnは、4・3・2=24 通りあります。
( n=1,2 のときは正n角形は存在しませんが、後で除くことにします )
また、360/n もすべて 360 の約数で、
その和は、(1+2+22+23)(1+3+32)(1+5)=1170 だから、
f(n) すべての和は、f(1),f(2) を含めて 180・24-1170=3150 です。
従って、求める値は、3150-f(1)-f(2)=3150+180-0=3330 になります。
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