[答333] 内角を度で表したとき自然数になる正ｎ角形

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[答333] 内角を度で表したとき自然数になる正ｎ角形


　正ｎ角形の１つの内角を度で表したものを f(n) とします。例えば f(6)＝120 です。

　では、f(n)の値が整数になる f(n) すべての和は？


[解答]

　多角形の外角の和は、360ﾟ で、１つの内角と外角の和が 180ﾟ だから、f(n)＝180－360/n 、

　f(n) が整数になるのは、ｎが 360＝2³･3²･5 の約数のときで、

　該当するｎは、4･3･2＝24 通りあります。

　( n＝1，2 のときは正ｎ角形は存在しませんが、後で除くことにします )　

　また、360/n もすべて 360 の約数で、

　その和は、(1＋2＋2²＋2³)(1＋3＋3²)(1＋5)＝1170 だから、

　f(n) すべての和は、f(1)，f(2) を含めて 180･24－1170＝3150 です。

　従って、求める値は、3150－f(1)－f(2)＝3150＋180－0＝3330 になります。

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