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[答334] 24個の解をもつ三角方程式

ヤドカリ

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[答334] 24個の解をもつ三角方程式


 sin kθ=cos 2kθ,0≦θ<2π を満たすθが 24個あるときの、最小の実定数kの値は?


[解答1]

 sin kθ=1-2sin2kθ 、2sin2kθ+sin kθ-1=0 、(2 sin kθ-1)(sin kθ+1)=0 、

 sin kθ=1/2,-1 、kθ=π/6+(2π/3)n (nは整数) となります。

 k<0 のとき、0≧kθ>2kπ だから、0≧π/6+(2π/3)n>2kπ 、1/4≦-n<-3k+1/4 、

  1≦-n<-3k+1/4 、これを満たす整数nが 24個存在するのは、24<-3k+1/4≦25 、

  95/12<-k≦33/4 、-33/4≦k<-95/12 。

 kの最小値ですので、k≧0 の場合は調べる必要がなく、最小のkの値は、k=-33/4 です。


 なお、k≧0 の場合を調べると、

 k=0 のとき、これを満たすθの値は存在しません。

 k>0 のとき、0≦kθ<2kπ だから、0≦π/6+(2π/3)n<2kπ 、-1/4≦n<3k-1/4 、

  0≦n<3k-1/4 、これを満たす整数nが 24個存在するのは、23<3k-1/4≦24 、31/4<k≦97/12 。

 よって、条件を満たすkの範囲は、-33/4≦k<-95/12 ,31/4<k≦97/12 になります。


[解答2]

 cos 2kθ-sin kθ=0 、cos 2kθ-cos(π/2-kθ)=0 、-2sin(kθ/2+π/4)sin(3kθ/2-π/4)=0 。
 
 sin(kθ/2+π/4)=0 のとき、sin 3(kθ/2+π/4)=0 、sin(3kθ/2+3π/4)=0 、

 よって、sin(3kθ/2-π/4)=0 だけを考えればよいことになります。

 nを整数として 3kθ/2-π/4=πn 、kθ=π/6+(2π/3)n となり、以下、[解答1]と同様です。

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Comments 20

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古い人  
No title

今日は色違いのガウラてすね。

此花も余り密着しないで咲くところがいかにも蝶が飛んでいる様で。

とても面白い花ですね。 ポチ。

いっちゃん  
No title

うわぁ~~可愛い。。こんなにたくさん咲いてるのは
見たことがありません。

あのぉ~~
長いおしべがちょろの髭に似てると言ったら顰蹙もの
ですか?笑
ちょろ。違ったポチ

こっこちゃん  
No title

おはようございます

ガウラの 花は 一面に 蝶が飛んでるようで
素敵な 花ですね”素敵な眺めです。 ポチ

アキチャン  
No title

おはようございます。。
今日も、色違いのハクチョウソウですね (o^-^o)
ガウラの別名だったのですね♪ ポチ♪

さっちゃんこ  
No title

おはようございます。
薄ピンクのガウラ とても綺麗です。
我が家の葉咲き終わった感じで余り花が付いていません。
刈り込みした方がいいのかな~ ポチ

Yasuko  
No title

おはようございます♪
ガウラ(山桃草)淡いピンク✿
風になびく様子が蝶が飛んでいるようですよ!
可愛いお花です✿
☆ポチ

uch*n*an  
No title

この問題は,基本的には難しくないはずなのですが,
最初,「実定数」を「実正数」と勘違いして,k > 0 の範囲だけで考えてしまい,
最大値はあるが最小値はない,と首を傾げていました。
問題をじっくり読み返して「実定数」であって k < 0 も可能に気付き,やっと解けました。
しかし,解けた後もしばらくは,何か狐につままれたような感じでした。
私の解法も二通り。論理の展開が多少違いますが,(解法1)が[解答2],(解法2)が[解答1]でした。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
じぶんの解き方は気持ち悪かったのですが...^^;
>1≦-n<-3k+1/4 、これを満たす整数nが 24個存在するのは、24<-3k+1/4≦25
というところが...論理の鬼門だったようです...!! Orz~

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰る通り、色違いです。
また、密集していないので、本当に蝶が飛んでいるようです。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
長い雄蕊を猫の髭だと思ったことはありませんでした。
顰蹙かどうかは、ご自身でご判断ください。
猫を飼ったことがない私には???です。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ここには沢山咲いていて、本当に蝶が乱れ飛んでいるようでした。
ところで、ピンクの蝶はいるのかなぁ?

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
白蝶草がガウラの別名でも、白でないと合いませんね。
花だからピンクも許容範囲でしょうか。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
このガウラは花の文化園という所で撮ったものです。
専門に育てているので、花も沢山ついていました。
刈り込みについては私には分かりませんが、来年は貴女の所も沢山さけばいいですね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この色だと、山桃草の名前がピッタリですね。
花の文化園で見たものですが、色々な花が見られてうれしいです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
仰る通り、k>0 と最初は考えた方が多かったようです。
「実定数」と書いたのは、kを自然数と勘違いされるかも知れないと思ったからです。
トリッキーな問題になってしまいました。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
>> 1≦-n<-3k+1/4 、これを満たす整数nが 24個存在するのは、24<-3k+1/4≦25
が、まさにこの問題の重要な部分です。
論理的にスッキリしますね。

tsuyoshik1942  
No title

嵌められた者の一人です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
嵌める心算はなかったのですが、k<0 にしないと、問題番号がうまく使えませんでした。

ニリンソウ  
No title

ガウラのピンク、木は大きいけど優しい花ですね
ポチ

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
ピンクは柔らかな感じを受けます。
沢山咲いているのがよかったです。