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[答335] 連立方程式の最小の解

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答335] 連立方程式の最小の解


 次の連立方程式の解 x1,x2,x3,……,x100 のうち、最小の値は?

  x1+2x2+3x3+……+98x98+99x99+100x100=5・12 ……(1)

  2x1+3x2+4x3+……+99x98+100x99+x100=5・22 ……(2)

  3x1+4x2+5x3+……+100x98+x99+2x100=5・32 ……(3)

  4x1+5x2+6x3+……+x98+2x99+3x100=5・42 ……(4)

    ………………………………
  kx1+(k+1)x2+……+100x101-k+x102-k+……+(k-2)x99+(k-1)x100=5・k2 ……(k)

    ………………………………
  99x1+100x2+x3+……+96x98+97x99+98x100=5・992 ……(99)

  100x1+x2+2x3+……+97x98+98x99+99x100=5・1002 ……(100)


[解答1]

 (1)+(2)+(3)+(4)+……+(99)+(100) より、

 (100・101/2)(x1+x2+x3+……+x98+x99+x100)=5・100・101・201/6 、

 x1+x2+x3+……+x98+x99+x100=335 ……(a) になります。

 kx1+(k+1)x2+……+100x101-k+x102-k+……+(k-2)x99+(k-1)x100=5・k2 ……(k)

 (k+1)x1+(k+2)x2+……+100x100-k+x101-k+……+(k-1)x99+kx100=5・(k+1)2 ……(k+1)

 k=1,2,3,……,99 のとき、(a)+(k)-(k+1) より、

 100x101-k=335+5・k2-5・(k+1)2 、x101-k=(33-k)/10 になり、

 (a)+(100)-(1) より、100x1=335+50000-5 、x1=5033/10 です。

 従って、最小の値は k=99 として、x2=(33-99)/10=-33/5 です。


[解答2]

 kx1+(k+1)x2+……+99x100-k+100x101-k+……+(k-2)x99+(k-1)x100=5・k2 ……(k)

 (k+1)x1+(k+2)x2+……+100x100-k+x101-k+……+(k-1)x99+kx100=5・(k+1)2 ……(k+1)

 (k+2)x1+(k+3)x2+……+x100-k+2x101-k+……+kx99+(k+1)x100=5・(k+2)2 ……(k+2)

 k=1,2,3,……,98 のとき、(k)+(k+2)-(k+1)×2 より、

 -100x100-k+100x101-k=10 、x101-k-x100-k=1/10 、

 x100-x99=x99-x98=……=x3-x2=1/10 となって、

 n=2,3,4,……,100 のとき、xn=x2+(n-2)/10 です。 

 (99)+(1)-(100)×2 より、-100x1+100x2=-50990 、x1=x2+5099/10 です。

 従って最小の値は x2 で、(1)~(100)のどれかに代入すると求められますが、

 [解答1]の(a)に代入するのが計算が楽です。

 100x2+4851/10+5099/10=335 、100x2=-660 、x2=-33/5 です。

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Comments 20

There are no comments yet.
古い人  
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千日紅ですねこの頃色変わりが出てきましたが。

花付が今一ですね、前からある、こんもりと成る花がいいですね。

何か間延びばかりで花数が少ないようですね。

ポチ。

いっちゃん  
No title

おはようございます。
今日もかわいいピンク色ですね。まんまぁるい花がとても
愛らしいです。終わりのない友情って花ことばがあるらしいですよ^^お友達にプレゼントしたら喜ばれるかも~
ポチ

さっちゃんこ  
No title

おはようございます。
今まで一個の花と思っていたのですが
千日紅は沢山の小さな花の集まりで出来ているのですね。
ブログ始めるまでは余り気にしていませんでした。
昔ながらのかわいい花ですね~ポチ

ひとりしずか  
No title

花と思っていたのは苞だったなんて~
苞の間からヤーと顔を覗かせ・・・
シロ見てみたい~ポチ☆

Yasuko  
No title

おはようございます♪
千日紅~ホント~花と思っていたのが苞だったんですね!
お花って不思議です(神秘的)☆
☆ポチ

uch*n*an  
No title

この問題は,最初見たときにはギョッとしたのですが,係数が規則的で思ったよりは簡単でした。
私の解法は二つ。(解法1)が[解答1],(解法2)はそれを少しアレンジした感じの解法でした。
[解答2]は,最初は思い付きませんでしたが,
(解法1)で解いた後に似たような大小判定法があることには気付いていました。
多元一次連立方程式は,一般的な計算法も知られているので,基本,計算するだけですが,
個人的に思わぬ収穫だったのは,検算のために十進ベーシックで計算してみたのですが,
行列式を計算する関数があるのを知ったことです。何かのときに役立ちそうです。
多分,UBASICにもあるのでしょうね。

こっこちゃん  
No title

こんにちは

黄色のセンニチコウは 珍しいですね”

センニチコウは 可愛く好きな花です~~ ポチ

tsuyoshik1942  
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最初に「335」が出現した時、今回はこれが問題番号の韻を踏んでいるのだと思いました。ところが、答に再び「-33/5」がでてきて驚きました。問題内容そのものに加え、答の値も良品ですね!

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
センニチコウ、なんか、線香のような名前ですね。
「紅」なのにいろんな色があります。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
沢山咲くのが素敵な花です。
下から青空と一緒に撮っても面白いと思いますが、なかなか旨くは撮れませんでした。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
「終わりのない友情」ですか。
その花言葉を分かる友人を見つけるのが難しいです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私もブログを始めるまで、あまり花に気持ちが行きませんでした。
問題に添えるために撮るようになっただけですが、
今まで見過ごしていた花が見えるようになりました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
では、明日の記事には白を使います。
その予定ですが、記事をアップするときに忘れていたら御免なさい。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
花もアップにすると今まで気にしていなかったことが見えます。
花に限らず、生命って不思議の宝庫ですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
十進ベーシックに行列式を計算する関数があるのですか。
驚きです。と同時に、勉強の必要がありそうです。
UBASICは整数論的な関数は充実していますが、
行列式はプログラムを組まないと扱えないと思います。
ローカル変数が使えますので、サブルーチンは作り易いですが。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
センニチコウっていろんな色がありますよね。
光の具合でも違って見えることもあって面白いです。

ヤドカリ  
No title

> 2011/10/21(金) 午後 0:52の鍵コメ様
素敵な風景が続きます。この数字だけは間違えてないでほしかったなぁ。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントとお褒めの言葉を有難う御座います。
このように旨くいくことは稀です。

ニリンソウ  
No title

千日紅の花の中に小さな花、よく撮れました。
まだまだ咲いてますか千日は無理でも百日は咲くようですね。
ポチ

ヤドカリ  
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ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
センニチコウは長い間咲いています。
今年、最初に見たのは7月ごろだったと思います。
アップにすると違った味わいがあります。